[论文解读] Quantum Cohomology under Birational Maps and Transitions

Yuan‐Pin Lee, Hui-Wen Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 11

一句话总结

本文通过量子Lefschetz与量子Leray–Hirsch定理，建立了量子上同调在双有理映射下的函子性，特别是光滑流形的流形、翻转与爆破。证明了量子上同调在普通流形下的不变性，并通过Weil除子的爆破构建了Calabi–Yau 3-流形中对偶过渡的框架，给出了非完备交中心的Gromov–Witten不变量的爆破公式。

ABSTRACT

This is an expanded version of the third author's lecture in String-Math 2015 at Sanya. It summarizes some of our works in quantum cohomology. After reviewing the quantum Lefschetz and quantum Leray--Hirsch, we discuss their applications to the functoriality properties under special smooth flops, flips and blow-ups. Finally, for conifold transitions of Calabi--Yau 3-folds, formulations for small resolutions (blow-ups along Weil divisors) are sketched.

研究动机与目标

• 将量子上同调的函子性扩展至非K-等价的双有理映射，如翻转与爆破。
• 制定涉及Weil除子上小解析的对偶过渡下量子上同调的形式化。
• 为非完备交中心（特别是Calabi–Yau 3-流形中的Weil除子）的Gromov–Witten不变量发展爆破公式。
• 利用Dubrovin联络与Birkhoff分解，将量子Leray–Hirsch与Lefschetz定理推广至非分裂丛。
• 通过Weil除子与线性系统，解释确定性过渡中GW不变量的内在结构。

提出的方法

• 利用Dubrovin联络与Birkhoff分解，推广量子Lefschetz与量子Leray–Hirsch定理。
• 通过关系式 $ I^Y = J^S \frac{\prod (L_i + h)}{(h)^{n+1}} $，将量子Lefschetz定理应用于半Fano或子Calabi–Yau流形中的完备交。
• 结合广义镜像变换使用量子Leray–Hirsch定理，处理射影丛映射并推导量子上同调分解。
• 引入Mori锥的可接受提升与朴素量子化基的概念，以形式化非分裂情形下的量子Leray–Hirsch。
• 使用到法丛的形变与谱序列，将全局问题约化为局部模型。
• 从关系矩阵 $ B $ 导出的同调类 $ W_j $ 构造Weil除子，证明 $ Y = \mathrm{Bl}_W \bar{X} $ 为对偶过渡中的小解析。

实验结果

研究问题

• RQ1 当变换非K-等价时，量子上同调在光滑流形下的行为如何？
• RQ2 在非K-等价设定下，量子上同调能否在完备交中心的爆破下保持函子性？
• RQ3 当小解析为沿Weil除子的爆破时，对偶过渡下量子上同调的结构为何？
• RQ4 如何用奇异流形 $ \bar{X} $ 的不变量与Weil除子的数据表达小解析 $ Y $ 的Gromov–Witten不变量？
• RQ5 在Weil除子爆破的量子Lefschetz公式中，何种内在几何时数据取代了外在线丛数据？

主要发现

• 通过环同构 $ QH(X) \cong \langle \tilde{T}_1, \ldots, \tilde{T}_{\dim H(X')} \rangle \times \mathbb{C}^{r-r'} $，量子上同调在普通流形下保持不变，其中第一部分同构于 $ QH(X') $。
• 对于沿完备交中心的光滑爆破，量子上同调分解为目标准备上同调与平凡因子的乘积，推广了经典爆破公式。
• 在对偶过渡中，小解析 $ \psi: Y \to \bar{X} $ 被实现为沿Weil除子 $ W $ 的爆破 $ Y = \mathrm{Bl}_W \bar{X} $，其中 $ W $ 由关系矩阵 $ B $ 导出的同调类 $ W_j $ 构造而成。
• Y 的Gromov–Witten不变量通过因子 $ I^{Y/X} = \frac{\prod_{i=0}^n (L_i + h)}{(h)^{n+1} \sum_{i=0}^n L_i} $ 与 $ X $ 的不变量相关联，该因子编码了Weil除子的内在几何。
• 通过Birkhoff分解与广义镜像变换，将量子Lefschetz公式推广至非分裂丛，使非分裂射影丛的处理成为可能。
• 通过Weil除子 $ W $ 关联的线性系统分解，实现了 $ I^{Y/X} $ 的内在解释，将外在线丛数据替换为内在几何时数据。