[论文解读] Quantum Coin Flipping, Qubit Measurement and Generalized Fibonacci Numbers

Oktay K. Pashaev|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文将量子硬币翻转问题建模为具有重复连续结果的量子比特态测量问题，表明斐波那契数列、三步斐波那契数列及N步斐波那契数列控制有效配置数及其概率。通过广义斐波那契多项式推导出精确的概率公式，建立生成函数并分析黄金分割比极限，进一步将框架推广至量子比特系统，利用广义N步斐波那契数列与希尔伯特空间树上的投影算符。

ABSTRACT

The problem of Hadamard quantum coin measurement in $n$ trials, with arbitrary number of repeated consecutive last states is formulated in terms of Fibonacci sequences for duplicated states, Tribonacci numbers for triplicated states and $N$-Bonacci numbers for arbitrary $N$-plicated states. The probability formulas for arbitrary position of repeated states are derived in terms of Lucas and Fibonacci numbers. For generic qubit coin, the formulas are expressed by Fibonacci and more general, $N$-Bonacci polynomials in qubit probabilities. The generating function for probabilities, the Golden Ratio limit of these probabilities and Shannon entropy for corresponding states are determined. By generalized Born rule and universality of $n$-qubit measurement gate, we formulate problem in terms of generic $n$-qubit states and construct projection operators in Hilbert space, constrained on the Fibonacci tree of the states. The results are generalized to qutrit and qudit coins, described by generalized Fibonacci-$N$-Bonacci sequences.

研究动机与目标

• 1. 使用斐波那契型数列对n次试验中量子硬币翻转的重复连续结果进行建模。
• 2. 利用卢卡斯数与广义斐波那契数，推导出重复、三重及N重态的精确概率公式。
• 3. 将玻恩规则与通用n量子比特测量门的普遍性推广至n量子比特与量子比特系统。
• 4. 构建受斐波那契数列与N步斐波那契数列约束的希尔伯特空间树上的投影算符。
• 5. 利用广义N步斐波那契多项式与递推关系，将框架推广至三量子比特与量子比特系统。

提出的方法

• 1. 使用Hadamard门定义最大随机的量子比特态作为量子硬币。
• 2. 通过斐波那契数列、三步斐波那契数列及N步斐波那契数列的递推关系，对重复连续结果（重复、三重、N重）进行建模。
• 3. 利用广义斐波那契数与卢卡斯数，以及量子比特概率中的多项式，推导概率公式。
• 4. 应用广义玻恩规则与通用n量子比特测量门，在希尔伯特空间树上构造投影算符。
• 5. 建立概率的生成函数，并分析其黄金分割比极限。
• 6. 利用d维广义N步斐波那契数列与加权概率的递推概率关系，将结果推广至量子比特系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 1. 斐波那契数列如何描述n次试验中重复态的有效配置数？
• RQ2 2. 在n次量子测量中，N重态（如重复、三重）的精确概率公式是什么？
• RQ3 3. 生成函数与黄金分割比如何在重复量子态的概率分布中出现？
• RQ4 4. 广义玻恩规则与通用n量子比特测量门如何用于在斐波那契树上构造希尔伯特空间投影算符？
• RQ5 5. 利用广义N步斐波那契数列，结果如何推广至d > 2个层级的量子比特系统？

主要发现

• 1. 对于n次试验中的重复态，有效配置数由斐波那契数列给出，概率为Pn = F_{n-1} / 2^n，其中F_n为斐波那契数列。
• 2. 对于三重态，配置数遵循三步斐波那契数列，概率为Pn = T_{n-1} / 3^n，其中T_n为广义三步斐波那契数列。
• 3. 对于n次试验中的N重态，配置数由N步斐波那契数列控制，概率为Pn = N_{n-1} / d^n，其中d为量子比特的层级数。
• 4. 重复态的概率生成函数在n趋于无穷时收敛于黄金分割比，满足Pn → 1/φ^n（当n → ∞）。
• 5. 对于通用量子比特硬币，概率以量子比特振幅的斐波那契多项式表示，即Pn = F_{n-1}(p)，其中p = |c1|²。
• 6. 对于d层级的量子比特系统，N重态的配置数遵循广义N步斐波那契递推关系D_n = (d-1)(D_{n-1} + D_{n-2} + ... + D_{n-N})，初始条件为D_0 = 0，D_1 = 1。