[论文解读] Quantum Communications Based on Quantum Hashing

Alexander Vasiliev|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于量子哈希和多项式表示的量子通信协议，用于计算布尔函数。通过使用特征多项式将输入编码为量子叠加态，该协议在某些函数上实现了单向通信中指数级减少的量子比特复杂度，并在同时消息传递模型中实现了相对于经典方法的指数级加速。

ABSTRACT

In this paper we consider an application of the recently proposed quantum hashing technique for computing Boolean functions in the quantum communication model. The combination of binary functions on non-binary quantum hash function is done via polynomial presentation, which we have called a characteristic of a Boolean function. Based on the characteristic polynomial presentation of Boolean functions and quantum hashing technique we present a method for computing Boolean functions in the quantum one-way communication model, where one of the parties performs his computations and sends a message to the other party, who must output the result after his part of computations. Some of the results are also true in a more restricted Simultaneous Message Passing model with no shared resources, in which communicating parties can interact only via the referee. We give several examples of Boolean functions whose polynomial presentations have specific properties allowing for construction of quantum communication protocols that are provably exponentially better than classical ones in the simultaneous message passing setting.

研究动机与目标

• 开发一种基于量子哈希和多项式表示的布尔函数量子通信协议。
• 在单向和同时消息传递（SMP）模型中降低通信复杂度。
• 识别出量子协议相对于经典协议实现指数级优势的布尔函数类别。
• 推广量子哈希技术，用于具有可证明复杂度边界的分布式量子计算。

提出的方法

• 在环 Z_m 上通过特征多项式表示布尔函数，当且仅当集合中所有多项式均计算为 0 时，函数值为 1。
• 使用量子哈希将经典输入映射为量子叠加态，以减少通信开销。
• 构建一种单向量子协议，其中 Alice 向 Bob 发送一个量子哈希态以及多项式的经典值。
• 在 Alice 和 Bob 独立计算的哈希态之间应用 SWAP 测试，以验证一致性。
• 利用量子哈希函数的抗碰撞特性，限制输入不同时的错误概率。
• 将协议推广至处理任意布尔函数，其特征多项式集合为 S，推导出通信复杂度为 O(|S| + m) 量子比特。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用量子哈希构建布尔函数的高效单向量子通信协议？
• RQ2 在布尔函数的多项式表示满足何种条件下，量子协议能相对于经典协议实现指数级优势？
• RQ3 通信复杂度如何随特征多项式集合的大小和结构变化而变化？
• RQ4 该协议能否在不共享资源的前提下，从单向模型扩展到同时消息传递（SMP）模型？
• RQ5 抗碰撞特性在确保基于量子哈希的协议正确性并最小化错误方面起什么作用？

主要发现

• 对于具有大小为 |S| 和 m 个参数的布尔函数，量子通信复杂度为 O(|S| + m) 量子比特，对某些函数而言，这比经典方法的 O(n) 实现了指数级改进。
• 当 |S| = O(log n) 且 m = O(log n) 时，协议实现 O(log n) 的通信复杂度，相对于经典协议实现了指数级改进。
• 该协议在单向和同时消息传递（SMP）模型中均适用，SMP 变体无需共享资源。
• 当输入一致时，Alice 和 Bob 的哈希态之间的 SWAP 测试输出 1 的概率很高，且错误概率通过量子哈希的 m-抗碰撞性质得到限制。
• 该方法可推广至任意布尔函数，但仅当特征多项式集合具有有利的结构特性时，才能获得非平凡的复杂度边界。
• 该方法包含一种构造性方法，可将任意布尔函数分解为一个特征多项式集合，即使不存在单一特征多项式，也能生成协议。