[论文解读] Quantum Commuting Circuits and Complexity of Ising Partition Functions

Keisuke Fujii, Tomoyuki Morimae|Nov 9, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 8

一句话总结

本文建立了即时量子多项式时间（IQP）线路与具有虚数耦合常数的伊辛模型配分函数计算复杂性的直接联系。通过将IQP输出概率映射为伊辛模型配分函数，作者证明了对这些配分函数的乘法近似在几乎所有虚数耦合下都是#P难的——即使在有界度数的平面晶格上也是如此，这意味着IQP在经典计算中除了特定可解情形外均难以实现。

ABSTRACT

Instantaneous quantum polynomial-time (IQP) computation is a class of quantum computation consisting only of commuting two-qubit gates and is not universal in the sense of standard quantum computation. Nevertheless, it has been shown that if there is a classical algorithm that can simulate IQP efficiently, the polynomial hierarchy (PH) collapses at the third level, which is highly implausible. However, the origin of the classical intractability is still less understood. Here we establish a relationship between IQP and computational complexity of the partition functions of Ising models. We apply the established relationship in two opposite directions. One direction is to find subclasses of IQP that are classically efficiently simulatable in the strong sense, by using exact solvability of certain types of Ising models. Another direction is applying quantum computational complexity of IQP to investigate (im)possibility of efficient classical approximations of Ising models with imaginary coupling constants. Specifically, we show that there is no fully polynomial randomized approximation scheme (FPRAS) for Ising models with almost all imaginary coupling constants even on a planar graph of a bounded degree, unless the PH collapses at the third level. Furthermore, we also show a multiplicative approximation of such a class of Ising partition functions is at least as hard as a multiplicative approximation for the output distribution of an arbitrary quantum circuit.

研究动机与目标

• 通过将其与统计力学模型联系起来，阐明IQP计算中经典不可行性的根源。
• 识别出可通过特定伊辛模型精确可解性实现经典模拟的IQP子类。
• 利用量子计算复杂性理论工具，研究具有虚数耦合常数的伊辛模型配分函数近似问题的复杂性。
• 在量子计算硬度结果的基础上，判断此类配分函数是否存在高效的经典近似方法。
• 探索IQP与伊辛模型中经典可模拟与计算困难实例之间的边界。

提出的方法

• 通过输出概率的映射，将IQP线路重新表述为具有虚数耦合常数的伊辛模型配分函数。
• 利用无磁场平面伊辛模型的精确可解性，识别出可经典模拟的IQP子类。
• 应用后选择技术及后选择BQP = PP定理，证明带单量子比特旋转的IQP在后选择下具有通用性。
• 利用近似保持的约化方法，将伊辛模型配分函数的#P难性结果应用于乘法近似的硬度证明。
• 使用量子复杂性理论约化方法，分析具有有界度数和虚数耦合的平面晶格上伊辛模型的复杂性。
• 将虚数伊辛模型配分函数近似的难度与实数伊辛模型的已知结果以及具有加法误差的量子算法进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 IQP线路与具有虚数耦合常数的伊辛模型配分函数计算复杂性之间存在何种关系？
• RQ2 哪些IQP子类是经典可模拟的？其结构特征是什么？
• RQ3 对具有虚数耦合常数的伊辛模型配分函数进行乘法近似是否经典可 tractable？
• RQ4 单量子比特旋转的存在如何影响IQP线路的经典可模拟性？
• RQ5 在有界度数的平面晶格上，对具有虚数耦合常数的伊辛模型配分函数进行近似的复杂性如何？

主要发现

• 无单量子比特旋转的平面IQP线路由于平面伊辛模型的精确可解性，是经典可模拟的。
• 在平面IQP中加入单量子比特旋转后，该模型在后选择下具有通用性，意味着可模拟PP问题。
• 对几乎所有虚数耦合常数的伊辛模型配分函数进行乘法近似是#P难的，即使在有界度数的平面晶格上也是如此。
• 尽管存在针对相同配分函数的高效加法误差量子算法，该#P难性结果依然成立。
• 虚数伊辛模型配分函数的复杂性显著高于实数铁磁或反铁磁情形，后者中乘法近似是可 tractable 的。
• 该结果与已知的铁磁和反铁磁伊辛模型的FPRAS形成对比，凸显了虚数耦合情形的极端不可行性。