[论文解读] Quantum compiler for classical dynamics

Dimitrios Giannakis, A. Ourmazd+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文提出了一种量子编译器，通过量子特征映射将经典状态和可观测量嵌入再生核希尔伯特空间，从而在量子计算机上模拟保持测度的、遍历的经典动力系统。该框架实现了科波曼算子下的幺正演化，并通过将演化分解为具有 O(n) 个门和 O(n²) 个量子傅里叶变换阶段的 n-量子比特量子电路，实现了指数级加速，该方法在 Qiskit 上对周期性和准周期性系统进行了验证。

ABSTRACT

We develop a framework for simulating measure-preserving, ergodic dynamical systems on a quantum computer. Our approach provides a new operator-theoretic representation of classical dynamics by combining ergodic theory with quantum information science. The resulting \emph{quantum compiler} enables efficient simulation of spaces of classical observables with exponentially large dimension using a quadratic number of quantum gates. The compiler is based on a quantum feature map that we introduce for representing classical states by density operators on a reproducing kernel Hilbert space, $\mathcal H$. Furthermore, an embedding of classical observables into self-adjoint operators on $\mathcal H$ is established, such that quantum mechanical expectation values are consistent with pointwise function evaluation. In this scheme, quantum states and observables evolve unitarily under the lifted action of the Koopman evolution operators of the classical system. Moreover, by virtue of the reproducing property of $\mathcal H$, the quantum system is pointwise-consistent with the underlying classical dynamics. To achieve an exponential quantum computational advantage, we project the state of the quantum system onto a finite-rank density operator on a $2^n$-dimensional tensor product Hilbert space associated with $n$ qubits. By employing discrete Fourier-Walsh transforms of spectral functions, the evolution operator of the finite-dimensional quantum system is factorized into tensor product form, enabling implementation through an $n$-channel quantum circuit with an $O(n)$ gates and no interchannel communication. Furthermore, the circuit features a quantum Fourier transform stage with $O(n^2)$ gates, which generates predictions by measurement in the standard computational basis. We implement the framework in Qiskit, and demonstrate its consistency for prototypical periodic and quasiperiodic systems.

研究动机与目标

• 开发一种用于模拟具有指数加速的古典动力系统的量子框架。
• 通过一种新型算子理论表示，弥合遍历理论与量子信息科学之间的鸿沟。
• 利用有限秩量子系统，实现高维空间中经典可观测量的一致性量子模拟。
• 通过张量积分解和离散傅里叶-沃尔什变换，实现高效的量子线路实现。
• 通过再生核性质确保量子预测与经典动力学之间的逐点一致性。

提出的方法

• 使用量子特征映射，将经典状态表示为再生核希尔伯特空间（H）中的密度算子。
• 将经典可观测量嵌入 H 上的自伴算子，使得量子期望值与逐点函数值精确匹配。
• 将经典系统的科波曼演化算子提升为在 H 上作用的幺正算子。
• 将量子态投影到由 n 个量子比特张成的 2^n 维张量积希尔伯特空间，以实现有限维模拟。
• 通过谱函数的离散傅里叶-沃尔什变换，将有限维演化算子分解为张量积形式。
• 将量子线路实现为具有 O(n) 个门且无通道间通信的 n 通道架构，包含一个 O(n²) 个门的量子傅里叶变换阶段，用于基于测量的预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用一致的量子表示，在量子计算机上高效模拟具有保持测度和遍历性质的经典动力系统？
• RQ2 如何将经典可观测量嵌入量子算子，使得量子期望值能重现经典逐点评估？
• RQ3 在再生核希尔伯特空间中，科波曼算子的结构是什么？如何对其进行离散化以实现量子线路计算？
• RQ4 演化算子能否被分解为低深度的量子电路，且具有最少的纠缠和通信？
• RQ5 量子模拟在多大程度上保持了原始经典系统的动力学一致性？

主要发现

• 该量子编译器仅使用 O(n²) 个量子门即可在 n 个量子比特上模拟指数规模空间中的经典可观测量。
• 该框架通过希尔伯特空间 H 的再生核性质，确保了量子预测与经典动力学之间的逐点一致性。
• 通过离散傅里叶-沃尔什变换，演化算子被分解为张量积形式，从而实现了具有 O(n) 个门且无通道间通信的 n 通道量子电路。
• 包含 O(n²) 个门的量子傅里叶变换阶段，使得基于计算基的测量预测成为可能。
• 在 Qiskit 上的实现成功验证了周期性和准周期性系统的模拟一致性，证实了理论框架的有效性。
• 该方法通过利用有限维量子系统中科波曼算子和特征映射的结构，实现了指数级的量子计算优势。