[论文解读] Quantum complexity and topological phases of matter

Paweł Caputa, Sinong Liu|arXiv (Cornell University)|May 11, 2022

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

本文引入了传播复杂度作为量子多体系统中拓扑相的新探针，通过Su-Schrieffer-Heeger（SSH）模型的解析分析表明，传播复杂度在拓扑相中趋于恒定。该方法利用Krylov基计算复杂度，揭示了在量子淬火协议下，拓扑相与平凡相之间具有明显不同的动力学行为。

ABSTRACT

In this work, we find that the complexity of quantum many-body states, defined as a spread in the Krylov basis, may serve as a new probe that distinguishes topological phases of matter. We illustrate this analytically in one of the representative examples, the Su-Schrieffer-Heeger model, finding that spread complexity becomes constant in the topological phase. Moreover, in the same setup, we analyze exactly solvable quench protocols where the evolution of the spread complexity shows distinct dynamical features depending on the topological vs non-topological phase of the initial state as well as the quench Hamiltonian.

研究动机与目标

• 探究量子复杂度，特别是传播复杂度，是否可作为物质拓扑相的通用探针。
• 分析一维SSH模型中传播复杂度的行为，该模型是具有拓扑相与平凡相的典型系统。
• 检验传播复杂度在平衡基态与非平衡淬火动力学中对拓扑序的敏感性。
• 将传播复杂度与传统探针（如纠缠熵和拓扑不变量）的性能进行比较。
• 通过在可精确求解模型中进行解析计算，建立传播复杂度与底层拓扑序之间的联系。

提出的方法

• 将传播复杂度定义为在基选择下Krylov基态重叠加权和的最小值，通过Lanczos算法构建的Krylov基进行最小化。
• 使用Krylov基计算SSH模型基态的传播复杂度，该基将哈密顿量对角化为三对角形式。
• 利用返回振幅（自相关函数）S(s) = ⟨Ψ(s)|Ψ₀⟩提取参数化Krylov基的Lanczos系数aₙ和bₙ。
• 分析在量子淬火协议下传播复杂度的时间演化，其中系统在初始态制备后在不同哈密顿量下演化。
• 将传播复杂度与物理可观测量（如算符𝔓ⱼ = i(c†_{Aj}c_{Bj} + h.c.)的期望值）相关联，该算符可作为局域纠缠结构的代理。
• 通过比较拓扑相与平凡相中约化密度矩阵ρⱼ，表明传播复杂度与拓扑相中的非平凡纠缠相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 传播复杂度能否在SSH模型中区分拓扑相与平凡相？
• RQ2 如解析计算所观察到的，在拓扑相中，基态的传播复杂度是否保持恒定？
• RQ3 在初始态或淬火哈密顿量处于拓扑相或平凡相时，传播复杂度的时间演化有何不同？
• RQ4 传播复杂度是否具有基于系统纠缠或局域关联的物理解释？
• RQ5 传播复杂度能否作为量子多体系统中拓扑序的通用探针，且独立于Nielsen复杂度中的门选择或代价函数？

主要发现

• 在SSH模型的基态中，传播复杂度在拓扑相中趋于恒定，表明与非拓扑相存在显著区别。
• 在非拓扑相（t₁=1, t₂=0）中，约化密度矩阵ρⱼ^{NP}为纯态，导致平凡纠缠，且𝔓ⱼ具有特定期望值。
• 在拓扑相（t₁=0, t₂=−1）中，约化密度矩阵ρⱼ^{TP}包含具有非平凡纠缠的混合部分，且𝔓ⱼ仅捕捉部分信息，反映了拓扑序的非局域特性。
• 传播复杂度密度与大L极限下所有格点j的⟨Ω|𝔓ⱼ|Ω⟩之和成正比，将其与全局复杂度度量联系起来。
• 在量子淬火协议下，传播复杂度的演化表现出与初始态和淬火哈密顿量的拓扑特性相关的显著动力学特征。
• 结果表明，传播复杂度是一种鲁棒、可计算且具有物理意义的探针，对拓扑序敏感，即使在可积和非混沌系统中亦然。