[论文解读] Quantum computation and the evaluation of tensor networks

Itai Arad, Zeph Landau|arXiv (Cornell University)|May 1, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文提出了一种量子算法，可对张量网络的值进行加法近似，以指定的尺度逼近，从而确立张量网络求值为量子计算的完全问题。通过将量子线路重新解释为张量网络，其中酉门被张量取代，时间则编码在收缩顺序中，该框架为统计力学模型中的划分函数近似提供了新的量子算法，并为现有关于琼斯多项式和图 Tutte 多项式的量子算法提供了统一的视角。

ABSTRACT

We present a quantum algorithm that additively approximates the value of a tensor network to a certain scale. When combined with existing results, this provides a complete problem for quantum computation. The result is a simple new way of looking at quantum computation in which unitary gates are replaced by tensors and time is replaced by the order in which the tensor-network is "swallowed". We use this result to derive new quantum algorithms that approximate the partition function of a variety of classical statistical mechanics models, including the Potts model.

研究动机与目标

• 通过提供一种对张量网络值进行加法近似的量子算法，确立张量网络求值为量子计算的完全问题。
• 以张量网络的形式重新表述量子计算，用张量替代酉门，用张量收缩的顺序编码时间。
• 推导出用于近似 q state 统计力学模型划分函数的新量子算法，包括 Potts 模型。
• 在张量网络框架内重新审视已知的琼斯多项式和 Tutte 多项式量子算法，提供新的几何和概念性洞见。
• 探索最优张量网络收缩顺序的计算复杂性，以及通用张量集合在量子计算中的潜力。

提出的方法

• 将量子线路表示为张量网络，其中每个门对应一个张量，量子比特线对应张量的指标。
• 将张量网络的值定义为所有边着色下顶点张量乘积的总和，对应于类似迹的收缩。
• 设计一种量子算法，利用量子振幅估计和受控张量收缩，实现对张量网络值的加法近似。
• 利用张量网络的结构来模拟量子线路，并通过划分函数表示将它们映射到物理模型（如 Potts 模型）。
• 利用张量网络框架，将已知的琼斯多项式和 Tutte 多项式量子算法重新解释为在结构化网络上的迹计算。
• 分析收缩顺序在张量网络求值中的作用，表明不同的收缩顺序会显著影响计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在加法近似下，张量网络求值能否作为量子计算的完全问题？
• RQ2 如何通过张量网络重新解释标准的量子计算线路模型，其中时间编码在收缩顺序中？
• RQ3 对于给定的张量网络，寻找最优收缩顺序的计算复杂性是什么？
• RQ4 张量网络框架能否为琼斯多项式和 Tutte 多项式等拓扑不变量的量子算法复杂性提供新见解？
• RQ5 该算法对物理统计力学模型的近似尺度是多少？与经典方法相比如何？

主要发现

• 本文确立了对张量网络值的加法近似是 BQP 的完全问题，为量子计算提供了新的表征。
• 所提出的量子算法实现了对任意 q-state 统计力学模型（包括 Potts 模型）划分函数的加法近似。
• 对于某些非物理的统计力学模型，近似尺度小到足以解决一个 BQP-完全问题，表明存在非平凡的量子优势。
• 张量网络框架为量子线路提供了几何直观的重新解释，用张量替代酉门，用收缩顺序编码时间。
• 该算法的性能取决于收缩顺序的选择，表明对这一顺序进行组合优化对效率至关重要。
• 该框架自然容纳了已知的琼斯多项式和 Tutte 多项式量子算法，表明它们是张量网络求值的特例。