[论文解读] Quantum Computation by Adiabatic Evolution

Edward Farhi, Jeffrey Goldstone+2 more|ArXiv.org|Jan 28, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 591

一句话总结

本文提出一种基于绝热量子演化求解可满足性问题的量子算法，其中系统从一个简单的初始哈密顿量演化到编码解的最终哈密顿量。关键贡献在于证明了在特定对称2-SAT实例下，该算法可实现多项式时间性能，尽管通常难以估计决定运行时间的能量能隙。

ABSTRACT

We give a quantum algorithm for solving instances of the satisfiability problem, based on adiabatic evolution. The evolution of the quantum state is governed by a time-dependent Hamiltonian that interpolates between an initial Hamiltonian, whose ground state is easy to construct, and a final Hamiltonian, whose ground state encodes the satisfying assignment. To ensure that the system evolves to the desired final ground state, the evolution time must be big enough. The time required depends on the minimum energy difference between the two lowest states of the interpolating Hamiltonian. We are unable to estimate this gap in general. We give some special symmetric cases of the satisfiability problem where the symmetry allows us to estimate the gap and we show that, in these cases, our algorithm runs in polynomial time.

研究动机与目标

• 开发一种基于绝热演化求解NP完全问题（如可满足性问题）的量子算法。
• 分析绝热量子计算是否能以多项式时间求解困难的组合问题。
• 识别绝热演化时间保持多项式时间的结构条件。
• 建立绝热量子计算与标准量子线路模型之间的桥梁。

提出的方法

• 该算法使用时间依赖的哈密顿量 H(t)，在具有已知基态的初始哈密顿量与基态编码满足赋值的最终哈密顿量之间插值。
• 系统在 H(t) 下按薛定谔方程演化，依赖绝热定理，若演化足够缓慢，则可保持在瞬时基态。
• 哈密顿量被构造为每个子句特定项 H_Ca(t) 的和，每项仅作用于子句 Ca 中的量子比特。
• 演化时间 T 必须满足 T ≫ E/g_min²，其中 g_min 是基态与第一激发态之间的最小能隙。
• 利用 Trotter-Suzuki 公式，将绝热算法映射到标准量子线路模型，将时间演化算符近似为少量量子比特单位操作的乘积。
• 对于对称2-SAT问题，最小能隙 g_min 按 n^p 规律缩放，其中 p ≈ 0.7，从而导致运行时间 T ∼ n^(2−2p)。

实验结果

研究问题

• RQ1 绝热量子演化能否在多项式时间内求解如3-SAT之类的NP完全问题？
• RQ2 可满足性实例的何种结构特性可使绝热算法实现多项式时间运行？
• RQ3 最小能隙 g_min 如何影响绝热量子计算中所需演化时间 T？
• RQ4 绝热量子算法能否被标准量子线路模型高效模拟？
• RQ5 绝热能隙与求解特定2-SAT问题类的复杂性之间存在何种关系？

主要发现

• 对于三种具有规则结构的对称2-SAT问题，绝热算法实现了多项式时间运行，演化时间 T 按 n^(2−2p) 缩放，其中 p ≈ 0.7。
• 对于这些问题，最小能隙 g_min 按 n^p 缩放，且 p ≃ 0.7，从而实现多项式时间演化。
• 在格罗弗问题（一种相对化的可满足性问题）中，该算法需要指数时间，与已知下界一致。
• 通过 Trotter-Suzuki 公式，绝热算法可被高效映射到标准量子线路模型，所需单位操作数量按 T² 与 n 的多项式缩放。
• 当 T 在 n 上为多项式时，所得线路模型版本也仅需多项式数量的少量量子比特单位操作。
• 分析表明，绝热方法可高效求解某些结构化的2-SAT实例，为这些特定情况提供了相对于经典方法的量子加速。