[论文解读] Quantum Computation, Complexity, and Many-Body Physics

Rolando D. Somma|ArXiv.org|Dec 22, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 4

一句话总结

本论文通过引入广义纠缠作为观测者相关的概念，建立了一个连接量子计算、复杂性理论与多体物理的框架。它表明，利用代数映射，费米子、任意子和玻色子系统的量子模拟可在量子计算机上高效实现；而当缺乏广义纠缠时，量子优势消失，从而实现经典模拟。一个关键成果是，在可观测量多项式有界的条件下，相关函数可被高效经典模拟，该方法已应用于李代数纯度和平均场哈密顿量的李辛-梅斯科夫-格利克（Lipkin-Meshkov-Glick）与XY模型。

ABSTRACT

Recently developed quantum algorithms suggest that quantum computers can solve certain problems and perform certain tasks more efficiently than conventional computers. Among other reasons, this is due to the possibility of creating non-classical correlations, or quantum entanglement, which is a phenomena hard or impossible to reproduce by classical-information methods. In this thesis I first investigate the simulation of quantum systems on a quantum computer constructed of two-level quantum elements or qubits. For this purpose, I present algebra mappings that allow one to obtain physical properties and compute correlation functions of fermionic, anyonic, and bosonic systems with such a computer. The results obtained show that the complexity of preparing a quantum state which contains the desired information for the computation is crucial. Second, I present a wide class of quantum computations, which could involve entangled states, that can be simulated with the same efficiency on both types of computers. The notion of generalized quantum entanglement then naturally emerges. This generalization of entanglement is based on the idea that entanglement is an observer-dependent concept, that is, relative to a set of preferred observables.

研究动机与目标

• 理解量子计算机在模拟量子多体系统方面的潜力与局限。
• 识别量子计算机相对于经典计算机实现指数级加速的条件。
• 提出相对于可观测量的广义纠缠概念，以区分量子优势与经典可模拟性。
• 应用量子信息理论工具研究多体物理中的量子相变与精确可解模型。
• 通过液态核磁共振（liquid-state NMR）实现量子模拟，验证理论映射与实验结果的一致性。

提出的方法

• 使用代数映射将费米子、任意子和玻色子系统编码为基于量子比特的量子线路，以实现高效模拟。
• 相对于一组可观测量定义广义纠缠，以评估量子资源是否真正具有非经典性。
• 推导出在系统尺寸与可观测量方面更新相关函数系数的计算复杂度界限，表明在特定条件下呈现多项式标度。
• 应用李代数纯度刻画李辛-梅斯科夫-格利克（Lipkin-Meshkov-Glick）与各向异性XY模型中的量子相变。
• 证明广义纠缠框架下自然涌现出一般平均场哈密顿量，且可在经典计算机上精确对角化。
• 通过液态核磁共振实现费米子系统的实验验证，确认理论预测的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在基于量子比特的架构下，何时可高效地在量子计算机上执行多体系统的量子模拟？
• RQ2 相对于一组可访问可观测量的广义纠缠，如何决定量子计算相对于经典计算是否存在优势？
• RQ3 能否利用代数映射在量子计算机上高效计算相互作用费米子、任意子和玻色子系统的相关函数？
• RQ4 在李辛-梅斯科夫-格利克与XY等模型中，广义纠缠与李代数纯度在多大程度上可用于表征量子相变？
• RQ5 在何种参数范围内，量子算法可被经典计算机高效模拟，以及量子优势在何时出现？

主要发现

• 当可观测量数量多项式有界时，计算相关函数所需的计算操作数随系统尺寸呈多项式增长，从而在这些条件下实现高效经典模拟。
• 不相对于小规模可观测量集合生成广义纠缠态的量子算法，可在经典计算机上被高效模拟，表明此类情况下不存在量子优势。
• 在热力学极限下，李辛-梅斯科夫-格利克（LMG）模型表现出经典极限，其中强度集体算符彼此对易，使得基态可被描述为具有固定坐标的经典角动量矢量。
• 自旋-1/2各向异性XY模型在横向磁场下表现出量子相变，该相变可通过李代数纯度识别与表征，从而区分有序相与无序相。
• 广义纠缠框架自然涌现出一般平均场哈密顿量，且可在经典计算机上精确对角化，为量子多体物理与经典模拟之间架起桥梁。
• 液态核磁共振实验成功模拟了费米子系统，验证了理论映射的正确性，并证明了在现有硬件上实现小规模量子模拟的可行性。