[论文解读] Quantum Computation of Thermal Averages for a Non-Abelian $D_4$ Lattice Gauge Theory via Quantum Metropolis Sampling

Edoardo Ballini, Giuseppe Clemente+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2023

Quantum many-body systems被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于在 (2+1)-维非阿贝尔规范场论中计算热平均值的量子算法，该理论基于二面体群 $D_4$，采用量子梅特罗波利斯采样（QMS）。该工作通过使用保持规范对称性的随机幺正算符，引入了规范不变的量子梅特罗波利斯更新，这些算符在物理希尔伯特空间上作用传递，从而实现遍历采样。关键贡献在于提出了一套规范不变的测量协议，并通过启发式模型表明，能量分辨率误差随量子比特数量增加而减小，该方法与精确解析结果一致。

ABSTRACT

In this paper, we show the application of the Quantum Metropolis Sampling (QMS) algorithm to a toy gauge theory with discrete non-Abelian gauge group $D_4$ in (2+1)-dimensions, discussing in general how some components of hybrid quantum-classical algorithms should be adapted in the case of gauge theories. In particular, we discuss the construction of random unitary operators which preserve gauge invariance and act transitively on the physical Hilbert space, constituting an ergodic set of quantum Metropolis moves between gauge invariant eigenspaces, and introduce a protocol for gauge invariant measurements. Furthermore, we show how a finite resolution in the energy measurements distorts the energy and plaquette distribution measured via QMS, and propose a heuristic model that takes into account part of the deviations between numerical results and exact analytical results, whose discrepancy tends to vanish by increasing the number of qubits used for the energy measurements.

研究动机与目标

• 开发一种混合量子-经典算法，用于计算非阿贝尔规范场论中的热平均值。
• 确保在量子梅特罗波利斯采样过程中，包括演化、更新和测量在内的所有步骤均保持规范不变性。
• 解决使用作用于物理希尔伯特空间上且作用传递的随机幺正算符，构建遍历且规范不变的量子梅特罗波利斯更新的挑战。
• 分析并减轻由量子测量中有限能量分辨率引起的系统性误差。
• 通过将QMS结果与能量和环路算符分布的精确解析解进行比较，验证算法的准确性。

提出的方法

• 通过在每一步强制保持规范不变性，将量子梅特罗波利斯采样（QMS）算法适配至非阿贝尔规范场论。
• 构造保持规范不变性且在物理希尔伯特空间上作用传递的随机幺正算符，确保马尔可夫链的遍历性。
• 提出一种使用投影算符至物理态的规范不变测量协议，避免物理态的非物理叠加。
• 采用启发式模型，解释由于能量测量中有限的量子比特分辨率导致的数值QMS结果与精确解析结果之间的偏差。
• 使用核密度估计器（KDE）可视化并评估不同量子比特数量下测量得到的热能分布的准确性。
• 使用无噪声量子模拟器进行模拟，以隔离系统性误差与量子噪声的影响，重点关注由分辨率引起的失真。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将量子梅特罗波利斯采样算法适配至非阿贝尔规范场论，以在热态采样过程中保持规范不变性？
• RQ2 哪类随机幺正算符能够保持规范不变性，并确保在物理希尔伯特空间上的遍历采样？
• RQ3 能量测量中的有限分辨率如何影响QMS模拟中热平均值的准确性？
• RQ4 由能量分辨率引起的系统性误差在多大程度上扭曲了测量得到的能量和环路算符分布？
• RQ5 启发式模型能否解释QMS结果与精确解析结果之间的差异？该差异是否随量子比特分辨率的提高而消失？

主要发现

• 所提出的规范不变QMS协议在 (2+1) 维 $D_4$ 规范场论中成功计算了热平均值，其保真度与精确解析结果高度一致。
• 能量和环路算符分布中的系统性误差主要源于能量测量中有限的量子比特分辨率，而非规范对称性破坏。
• 随着用于能量测量的量子比特数量增加，QMS结果与精确解析结果之间的差异减小，表明向精确分布收敛。
• 考虑分辨率效应的启发式模型捕捉到了主要的偏差来源，表明更高分辨率的能量测量可减少系统性误差。
• 规范不变测量协议成功避免了非物理态的污染，保持了物理密度矩阵的完整性。
• 核密度估计器的使用表明，随着用于能量测量的量子比特数量增加，测量得到的热能分布变得越来越准确且平滑。