[论文解读] Quantum computational finance: martingale asset pricing for incomplete markets

Patrick Rebentrost, Alessandro Luongo+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 8

一句话总结

本文提出了一套新颖的量子算法，用于不完全金融市场中的鞅资产定价，采用量子线性规划技术——具体包括量子零和博弈、量子单纯形法和量子伪逆方法——且不依赖于量子蒙特卡洛方法。通过直接从市场数据中提取风险中性测度，其潜在速度提升达到经典方法的二次加速，类似于金融领域的自助法（bootstrapping）。

ABSTRACT

A derivative is a financial security whose value is a function of underlying traded assets and market outcomes. Pricing a financial derivative involves setting up a market model, finding a martingale (``fair game") probability measure for the model from the given asset prices, and using that probability measure to price the derivative. When the number of underlying assets and/or the number of market outcomes in the model is large, pricing can be computationally demanding. We show that a variety of quantum techniques can be applied to the pricing problem in finance, with a particular focus on incomplete markets. We discuss three different methods that are distinct from previous works: they do not use the quantum algorithms for Monte Carlo estimation and they extract the martingale measure from market variables akin to bootstrapping, a common practice among financial institutions. The first two methods are based on a formulation of the pricing problem into a linear program and are using respectively the quantum zero-sum game algorithm and the quantum simplex algorithm as subroutines. For the last algorithm, we formalize a new market assumption milder than market completeness for which quantum linear systems solvers can be applied with the associated potential for large speedups. As a prototype use case, we conduct numerical experiments in the framework of the Black-Scholes-Merton model.

研究动机与目标

• 解决在具有大量基础资产和可能市场结果的市场中，对非流动性衍生品进行定价的计算挑战。
• 开发能够直接从市场数据中提取鞅测度的量子算法，模拟金融实践中自助法的运作方式。
• 通过在不完全市场模型中利用量子线性代数技术，实现在鞅资产定价中的显著加速。
• 形式化一种新的市场条件——最小二乘市场（least-square markets）——其弱于市场完备性，但可通过量子线性系统求解器实现大规模量子加速。
• 为参数化模型中的量子风险中性定价提供框架，并在实际场景中评估量子资源需求。

提出的方法

• 将衍生品定价问题表述为线性规划问题，以支持量子优化子程序的应用。
• 使用量子零和博弈算法计算一个 ε-可行的鞅测度，并返回具有相对误差的定价结果。
• 应用量子单纯形算法，以在可行测度的凸集中找到使衍生品价格最大化或最小化的鞅测度。
• 利用量子伪逆算法生成与等价鞅测度 ε-接近的量子态。
• 引入“最小二乘市场”概念——市场完备性的松弛形式——使量子线性系统求解器得以高效使用。
• 利用幅度放大与估计技术作为子程序，但核心定价机制不依赖于量子蒙特卡洛方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用量子算法从市场数据中提取鞅测度，而无需依赖量子蒙特卡洛方法？
• RQ2 在不完全市场设置下，量子线性规划算法在何种条件下优于经典方法？
• RQ3 与经典方法相比，量子零和博弈算法在收敛性和可行性容差方面表现如何？
• RQ4 因子 $1/\langle\bm{D}|\bm{q}\rangle$ 对运行时间的影响是什么？在实际衍生品模型中能否通过经济推理对其进行有界控制？
• RQ5 是否可以放宽市场完备性假设，以在金融定价中更广泛地应用量子线性系统求解器？

主要发现

• 量子零和博弈算法返回一个 ε-可行的鞅测度，并输出具有相对误差的衍生品价格，其运行时间呈 $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\epsilon^2)$ 的缩放关系。
• 量子单纯形法与伪逆算法生成的量子态与等价鞅测度 ε-接近，从而支持高精度定价。
• 在实际情况下，运行时间中的因子 $1/\langle\bm{D}|\bm{q}\rangle$ 不随 $N$ 和 $K$ 多项式增长，因为大多数衍生品在大量市场情景中具有非零收益。
• ‘最小二乘市场’这一市场条件弱于市场完备性，但允许通过量子线性系统求解器实现潜在的大规模加速。
• 对于参数为 $\mu=1$、$\sigma=2$ 的布莱克-斯科尔斯模型，以及行权价为 $150、标的资产价格为 $100 的看跌期权，比值 $\rho = D_{\rm max}/\Pi_D \approx 2$，表明运行时间开销可控。
• 所提出的算法并不严格返回一个精确的等价鞅测度，但其提供的近似值已足够精确，适用于实际衍生品定价。