[论文解读] Quantum computational finance: quantum algorithm for portfolio optimization

Patrick Rebentrost, Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 31

一句话总结

本文提出了一种用于投资组合优化的量子算法，利用量子随机存取存储器（qRAM）和Harrow-Hassidim-Lloyd（HHL）算法，在时间复杂度为poly(log(TN))内计算最优风险-收益权衡曲线，并生成最优投资组合的量子态，相较于经典方法的poly(TN)复杂度，可能实现量子加速。

ABSTRACT

We present a quantum algorithm for portfolio optimization. We discuss the market data input, the processing of such data via quantum operations, and the output of financially relevant results. Given quantum access to the historical record of returns, the algorithm determines the optimal risk-return tradeoff curve and allows one to sample from the optimal portfolio. The algorithm can in principle attain a run time of ${ m poly}(\log(N))$, where $N$ is the size of the historical return dataset. Direct classical algorithms for determining the risk-return curve and other properties of the optimal portfolio take time ${ m poly}(N)$ and we discuss potential quantum speedups in light of the recent works on efficient classical sampling approaches.

研究动机与目标

• 开发一种利用量子线性代数技术高效求解投资组合优化问题的量子算法。
• 在计算风险-收益曲线并识别给定预期收益下的最小风险投资组合方面，实现量子加速。
• 展示如何利用量子态制备与振幅估计算法，以高保真度从最优投资组合中采样。
• 解决从量子计算输出中提取具有经典金融意义结果的挑战，确保实际应用相关性。

提出的方法

• 利用qRAM将历史收益率数据加载到量子叠加态中，实现对大规模数据集的高效访问。
• 应用HHL算法对协方差矩阵进行求逆，这是求解投资组合理论中二次优化问题的核心。
• 通过受控旋转和振幅放大，将均值调整后的收益率编码为量子态，以制备与协方差矩阵成比例的态。
• 利用后选择与振幅估计算法提取协方差矩阵的迹，并验证态制备的成功概率。
• 通过矩阵求逆制备最优投资组合的量子态，该态可被采样以获得稀疏且接近最优的投资组合配置。
• 该算法确保最终输出——无论是风险-收益曲线还是最优投资组合态——均可被测量并以经典上有意义的方式解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 与经典方法的poly(TN)复杂度相比，量子算法能否在投资组合优化中实现poly(log(TN))的运行时间复杂度？
• RQ2 量子线性代数技术如何被调整以解决投资组合优化中的等式约束二次规划问题？
• RQ3 qRAM与振幅放大在实现最优投资组合高效态制备中起到什么作用？
• RQ4 如何对量子输出进行测量与解释，以获得如投资组合权重或风险-收益配置等可操作的金融洞察？
• RQ5 在现实数据条件下，制备最优投资组合态的实际限制与成功概率是什么？

主要发现

• 该量子算法在计算风险-收益曲线和制备最优投资组合态方面实现了O(poly(log(TN)))的运行时间，相较于经典方法可能实现指数级加速。
• 当收益率量级为1时，制备均值调整后收益率态的成功概率满足P_χ = Ω(1)，在典型金融数据条件下可实现高效态制备。
• 通过后选择与振幅估计算法可估计协方差矩阵的迹，成功概率为P_χ = (δ²(T−1)trΣ)/(4TN)，从而验证关键统计特性。
• 该算法支持从最优投资组合态中采样，生成稀疏且接近最优的投资组合配置，对实际投资策略具有实用价值。
• 该方法表明，量子优势在金融领域对如投资组合优化等任务是可行的，尤其考虑到小的计算改进在金融中具有极高价值。
• 若有效实现qRAM与错误缓解技术，该方法与近期中等规模量子设备兼容。