[论文解读] Quantum Computers Speed Up Classical with Probability Zero

Yuri Ozhigov|ArXiv.org|Mar 24, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用 13

一句话总结

本文表明，对于随机选择的、长度保持不变的函数，能够被量子计算机加速的经典算法集合的概率测度为零。它证明了以概率1，任何模拟此类经典计算的量子算法至少需要 Ω(√T) 次函数评估，这意味着在一般情况下，随机函数的量子加速极为罕见。

ABSTRACT

Let $f$ denote length preserving function on words. A classical algorithm can be considered as $T$ iterated applications of black box representing $f$, beginning with input word $x$ of length $n$. It is proved that if $T=O(2^{n/(7+e)}), e >0$, and $f$ is chosen randomly then with probability 1 every quantum computer requires not less than $T$ evaluations of $f$ to obtain the result of classical computation. It means that the set of classical algorithms admitting quantum speeding up has probability measure zero. The second result is that for arbitrary classical time complexity $T$ and $f$ chosen randomly with probability 1 every quantum simulation of classical computation requires at least $Ω(\sqrt {T})$ evaluations of $f$.

研究动机与目标

• 研究当底层函数随机选择时，量子加速在经典算法中的普遍性。
• 确定量子计算机是否能高效模拟随机函数上的任意经典计算。
• 确定可实现量子加速的经典算法的概率测度。
• 推导出量子算法模拟经典计算所需函数评估次数的下界。

提出的方法

• 该研究将经典计算建模为对 n 位输入的 T 次黑箱函数 f 的迭代，其中 f 是长度保持不变且随机选择的。
• 它应用概率分析表明，当 T = O(2^{n/(7+ε)}), ε > 0 时，量子算法以概率1至少需要 T 次 f 的评估。
• 该分析使用测度论论证，表明可实现量子加速的函数集合具有勒贝格测度零。
• 它推导出量子模拟经典计算的一般下界为 Ω(√T) 次评估，无论具体函数 f 为何。
• 该证明依赖于量子查询复杂度以及随机函数在计算复杂性中的结构。
• 结果通过在量子查询模型背景下进行渐近分析和概率界建立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于随机选择的经典算法，其被量子计算机加速的概率是多少？
• RQ2 对于随机选择的函数 f，模拟时间复杂度为 T 的经典计算所需的最少量子查询次数是多少？
• RQ3 当 f 以均匀随机方式选择时，量子计算是否对大多数经典算法提供加速？
• RQ4 量子算法能否在模拟随机函数上的经典计算时实现低于 T 次的查询复杂度？
• RQ5 从测度论的角度来看，量子加速在所有可能的经典算法中发生的可能性有多大？

主要发现

• 当 T = O(2^{n/(7+ε)}), ε > 0，且 f 为随机选择的函数时，以概率1，所有量子算法至少需要 T 次 f 的评估才能计算出经典计算的结果。
• 当 f 以均匀随机方式选择时，可实现量子加速的经典算法集合的概率测度为零。
• 对于任意经典时间复杂度 T，对随机函数 f 进行量子模拟经典计算时，以概率1至少需要 Ω(√T) 次 f 的评估。
• Ω(√T) 次评估的下界在 f 为随机选择的前提下成立，无论 f 的具体结构如何。
• 结果表明，即使在原则上可能，量子加速对随机函数而言也并非典型现象。
• 随着输入大小 n 的增加，量子加速的概率迅速降低，这是由于函数空间的指数增长所致。