[论文解读] Quantum constraint learning for quantum approximate optimization algorithm

Santosh Kumar Radha|arXiv (Cornell University)|May 14, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文提出量子约束学习（QCL）以应用于量子近似优化算法（QAOA），利用量子机器学习训练一个混杂哈密顿量，以在组合优化中强制执行硬性约束。该方法学习一个单位演化，将态演化限制在可行子空间内，从而在NISQ设备中实现电路深度与约束精度之间的灵活权衡，并引入一种基于Wasserstein距离的新型性能度量，显示其在约束强制执行方面优于随机或无约束的解决方案。

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm (QAOA) is a hybrid quantum-classical variational algorithm that offers the potential to handle combinatorial optimization problems. Introducing constraints in such combinatorial optimization problems poses a significant challenge in the extensions of QAOA to support relevant larger-scale problems. This paper introduces a quantum machine learning approach to learn the mixer Hamiltonian required to hard constrain the search subspace. We show that this method can be used for encoding any general form of constraints. One can directly plug the learnt unitary into the QAOA framework using an adaptable ansatz. This procedure gives the flexibility to control the depth of the circuit at the cost of the accuracy of enforcing the constraint, thus having immediate application in the Noisy Intermediate Scale Quantum (NISQ) era. We also develop an intuitive metric that uses Wasserstein distance to assess the performance of general approximate optimization algorithms with/without constraints. Finally, using this metric, we evaluate the performance of the proposed algorithm.

研究动机与目标

• 为解决现有混杂哈密顿量设计在QAOA中难以强制执行一般性硬性约束的挑战。
• 利用量子机器学习开发一种灵活且可训练的混杂哈密顿量，使其在演化过程中保持约束子空间不变。
• 在含噪声中等规模量子（NISQ）设备中，实现电路深度与约束精度之间的可调权衡。
• 提出一种基于1-Wasserstein距离的新性能度量，以定量评估近似优化算法中的约束强制执行性能。
• 证明所学习的混杂哈密顿量在保持解在可行子空间内的保真度方面，优于随机和无约束的解决方案。

提出的方法

• 训练一个量子线路，以学习约束哈密顿量 $ H_{qcl} $ 的时间演化酉矩阵，使得对所有 $ \ket{\psi_i} \in \mathcal{H}_c $，均有 $ e^{-iH_{qcl}t} \ket{\psi_i} \in \mathcal{H}_c $。
• 使用基于约束子空间 $ \mathcal{H}_c $ 内态演化保真度的变分量子线路与代价函数。
• 将训练好的 $ H_{qcl} $ 作为混杂哈密顿量嵌入QAOA框架，替代标准的X-混杂哈密顿量。
• 定义一个映射基 $ \ket{\tilde{i}} $，按约束满足程度优先排序，其次按QUBO代价排序，以支持性能评估的有界度量。
• 构建一个1-Wasserstein距离度量 $ \zeta(\ket{\psi^*}) = 1 - W_1(\ket{\tilde{0}}, \ket{\psi^*}) $，其中 $ \ket{\tilde{0}} $ 表示理想解，$ \ket{\psi^*} $ 为输出态。
• 利用该度量将QCL-QAOA与随机和无约束的QAOA进行比较，其中 $ \zeta = 1 $ 表示完美解集中，$ \zeta = 0.5 $ 表示随机性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于量子机器学习的方法能否有效学习一个混杂哈密顿量，以在QAOA中强制执行任意硬性约束？
• RQ2 在QAOA中使用学习到的混杂哈密顿量时，电路深度与约束精度之间的权衡如何体现？
• RQ3 基于Wasserstein距离的度量能否提供一个有界、直观且定量的约束强制执行性能度量？
• RQ4 QCL-QAOA是否在保持解在可行子空间内的保真度方面优于随机和无约束的QAOA？
• RQ5 随着QAOA深度 $ p $ 增加，QCL-QAOA的性能如何变化？是否在泄漏进入无约束空间之前出现一个最优 $ p_0 $？

主要发现

• QCL-QAOA方法成功学习到一个混杂哈密顿量，能将态演化限制在约束子空间 $ \mathcal{H}_c $ 内，满足硬性约束强制执行的理论条件。
• 性能度量 $ \zeta $ 的取值范围在0到1之间，其中 $ \zeta = 1 $ 表示完美的 $ \delta $-函数解，$ \zeta = 0.5 $ 表示随机性能，支持定量比较。
• 在3量子比特示例中，QCL-QAOA对最优解的性能度量达到 $ \zeta \approx 0.9 $，显著优于随机初始化（$ \zeta = 0.5 $）。
• 该方法表现出一个最优 $ p_0 $ 深度，此时约束强制性能达到峰值；超过该深度后，泄漏进入无约束空间导致性能下降，趋同于标准QAOA。
• 所学习的混杂哈密顿量实现了可调权衡：更深的电路可提升约束精度，但会因噪声和泄漏导致错误增加，因此适用于NISQ时代应用。
• 该方法可推广至任意约束类型，因学习过程与具体约束结构无关，可直接嵌入QAOA框架，并支持可适配的量子电路ansatz。