[论文解读] Quantum convolution and quantum correlation algorithms are physically impossible

Chris Lomont|ArXiv.org|Sep 8, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用 46

一句话总结

本文证明了量子卷积和量子相关算法——在经典信号与图像处理中常用——在物理上无法在量子计算机上实现。通过表明量子态系数的逐元素相乘这一核心步骤违反了量子力学原理，作者证明了没有任何幺正操作、测量序列或物理过程能够实现这些运算而不违反线性性与幺正性原则。

ABSTRACT

The key step in classical convolution and correlation algorithms, the componentwise multiplication of vectors after initial Fourier Transforms, is shown to be physically impossible to do on quantum states. Then this is used to show that computing the convolution or correlation of quantum state coefficients violates quantum mechanics, making convolution and correlation of quantum coefficients physically impossible.

研究动机与目标

• 研究量子卷积和相关算法是否能在量子计算机上实现。
• 识别阻止此类算法实现的根本物理与数学障碍。
• 证明关键步骤——量子态系数的逐元素相乘——违反了量子力学原理。
• 证明没有任何物理过程，包括幺正操作或测量，能够执行量子卷积或相关运算。
• 阐明量子计算在解决传统上由经典卷积和相关算法加速的问题时的局限性。

提出的方法

• 使用离散傅里叶变换（DFT）和逆离散傅里叶变换（IDFT）定义经典卷积和相关运算，并加入归一化因子以确保幺正性。
• 将量子卷积和相关运算表述为在量子态上的变换，要求在量子傅里叶变换（QFT）后对振幅向量进行逐元素相乘。
• 利用线性代数证明，任何执行此类变换的算符都必须违反线性性与幺正性，如引理14和推论15所示。
• 应用测量延迟原理，将任意单位的幺正操作与测量序列简化为单一幺正操作后接单一测量。
• 证明不存在此类幺正或测量操作能够执行所需变换，如定理16所示。
• 最终结论指出，若存在量子卷积或相关过程，将与量子不可克隆定理及量子线性性相矛盾，因此在物理上不可实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子卷积和相关算法是否能在量子计算机上物理实现？
• RQ2 哪些量子力学的基本原理阻止了对量子态系数进行逐元素相乘？
• RQ3 是否存在任何物理过程——包括幺正变换、测量或其序列——能够计算量子卷积或相关运算？
• RQ4 为何基于快速傅里叶变换（FFT）的经典方法在应用于量子态时会失效？
• RQ5 不可克隆定理如何与量子卷积和相关运算的不可实现性相关联？

主要发现

• 量子卷积和相关运算无法通过任何物理过程实现，包括幺正操作或测量序列。
• 核心操作——在QFT之后对量子态系数进行逐元素相乘——违反了量子力学的线性性与幺正性。
• 没有任何线性算符、幺正变换或测量序列能够将两个量子态的张量积映射为表示其卷积或相关的态。
• 该不可能性通过引理14和推论15得到证明，表明此类变换在数学上与量子力学原理不一致。
• 即使拥有输入态的多个副本，不可克隆定理仍会阻止通过经典采样与重构系数来绕过此限制。
• 该结果意味着，无法通过经典FFT算法的直接类比实现卷积和相关运算的量子加速。