[论文解读] Quantum Cyclic Code

Sagarmoy Dutta, Piyush P. Kurur|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文将量子循环码作为经典循环码在量子领域的自然推广，超越了标准CSS构造。它提出了新的非CSS型量子循环码，参数为[[5,1,3]]、[[17,1,7]]和[[17,9,3]]，并为长度为$4^m+1$的稳定子码开发了一种基于BCH距离框架的多项式时间量子译码算法，可纠正最多$\lfloor (d-1)/2 \rfloor$个错误。

ABSTRACT

In this paper, we define and study \emph{quantum cyclic codes}, a generalisation of cyclic codes to the quantum setting. Previously studied examples of quantum cyclic codes were all quantum codes obtained from classical cyclic codes via the CSS construction. However, the codes that we study are much more general. In particular, we construct cyclic stabiliser codes with parameters $[[5,1,3]]$, $[[17,1,7]]$ and $[[17,9,3]]$, all of which are \emph{not} CSS. The $[[5,1,3]]$ code is the well known Laflamme code and to the best of our knowledge the other two are new examples. Our definition of cyclicity applies to non-stabiliser codes as well; in fact we show that the $((5,6,2))$ nonstabiliser first constructed by Rains\etal~ cite{rains97nonadditive} and latter by Arvind \etal~\cite{arvind:2004:nonstabilizer} is cyclic. We also study stabiliser codes of length $4^m +1$ over $\mathbb{F}_2$ for which we define a notation of BCH distance. Much like the Berlekamp decoding algorithm for classical BCH codes, we give efficient quantum algorithms to correct up to $\floor{\frac{d-1}{2}}$ errors when the BCH distance is $d$.

研究动机与目标

• 定义并表征量子循环码，作为经典循环码在量子领域的自然推广。
• 构造非CSS类型的新型量子稳定子码，包括[[5,1,3]]、[[17,1,7]]和[[17,9,3]]码。
• 将循环性的概念扩展至非稳定子码，表明在新定义下((5,6,2))码是循环的。
• 为长度为$4^m+1$的量子稳定子码定义BCH距离的概念，使其在$\mathbb{F}_2$上实现高效译码。
• 开发此类码在BCH纠错极限内的多项式时间量子译码算法。

提出的方法

• 通过移位算子在底层稳定子群上的作用来定义量子循环码，将经典循环码推广至量子设置。
• 利用Gottesman-Knill框架，通过$\mathbb{F}_p^{2n}$中的Gottesman子群及其关联的完全迷向子空间来表示量子码。
• 引入$\mathbb{F}_4[X]/(X^n - 1)$中底层理想的一个生成对$(g,h)$，以描述码结构并实现对错误多项式高效恢复。
• 利用相位估计算法和量子傅里叶采样，计算内积以恢复模生成多项式的错误多项式系数。
• 当长度为$n = 4^m + 1$的码具有BCH距离$d$时，应用Berlekamp算法纠正最多$\lfloor (d-1)/2 \rfloor$个错误。
• 通过证明若底层Gottesman子群为循环群，则所得码也为循环码，将该框架扩展至伪稳定子码。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典码中的循环性概念能否有意义地推广至超越CSS构造的通用量子码？
• RQ2 非CSS类型的量子循环码在结构和参数特性方面有何特征？
• RQ3 能否为长度为$4^m + 1$的量子稳定子码定义类似于经典BCH码的BCH距离概念？
• RQ4 是否存在此类码在BCH纠错极限内的多项式时间量子译码算法？
• RQ5 非稳定子量子码（如((5,6,2))码）在新定义下是否也是循环的？

主要发现

• 本文构造了一个新的非CSS型[[17,1,7]]量子循环码，代表了一种具有高距离的新码。
• 提出了一个[[17,9,3]]量子循环码，同样不在CSS框架内，展示了该构造的普遍性。
• 著名的[[5,1,3]] Laflamme码被证明是所提量子循环码框架的一个特例。
• 在新定义下，((5,6,2))非稳定子码被证明是循环的，确立了首个已知的非稳定子循环量子码示例。
• 对于长度为$n = 4^m + 1$、BCH距离为$d = 2t + 1$的量子稳定子码，构造了一种多项式时间量子译码算法，可纠正最多$t$个错误。
• 该译码算法依赖于高效的量子相位估计算法，以恢复模生成多项式的错误多项式系数，随后使用Berlekamp算法进行错误纠正。