[论文解读] Quantum Data Compression and Quantum Cross Entropy

Zhou Shangnan|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 10

一句话总结

本文提出了一种通用的量子数据压缩协议，将量子交叉熵 $ S(\rho,\sigma) = -\text{tr}(\rho \log \sigma) $ 操作化为次优量子源编码的压缩速率。通过利用量子强典型性，并借助酉变换将真实源 $ \rho $ 与感知模型 $ \sigma $ 对齐，该协议投影到典型子空间，实现保真度高的压缩，其压缩速率等于量子交叉熵，当 $ \sigma = \rho $ 时该值最小化为冯·诺依曼熵。这确立了量子交叉熵作为量子机器学习中自然损失函数的地位。

ABSTRACT

The emerging field of quantum machine learning has the potential of revolutionizing our perspectives of quantum computing and artificial intelligence. In the predominantly empirical realm of quantum machine learning, a theoretical void persists. This paper addresses the gap by highlighting the quantum cross entropy, a pivotal counterpart to the classical cross entropy. We establish quantum cross entropy's role in quantum data compression, a fundamental machine learning task, by demonstrating that it acts as the compression rate for sub-optimal quantum source coding. Our approach involves a novel, universal quantum data compression protocol based on the quantum generalization of variable-length coding and the principle of quantum strong typicality. This reveals that quantum cross entropy can effectively serve as a loss function in quantum machine learning algorithms. Furthermore, we illustrate that the minimum of quantum cross entropy aligns with the von Neumann entropy, reinforcing its role as the optimal compression rate and underscoring its significance in advancing our understanding of quantum machine learning's theoretical framework.

研究动机与目标

• 通过确立量子交叉熵的基础作用，弥合量子机器学习中的理论空白。
• 为量子交叉熵在量子数据压缩中作为压缩速率提供操作性解释。
• 基于量子强典型性与可变长度编码原理，开发一种通用且具有物理动机的量子压缩协议。
• 证明最小化量子交叉熵可获得最优压缩速率，该速率等于冯·诺依曼熵。
• 将量子交叉熵定位为量子机器学习算法中可行的损失函数。

提出的方法

• 从感知的量子源态 $ \sigma $ 构建计算基，该态作为模型参数。
• 应用酉变换 $ U $ 将真实源态 $ \rho $ 映射到由 $ \sigma $ 定义的基中，实现与典型序列的对齐。
• 将变换后的态 $ U\rho U^\dagger $ 投影到由量子强典型性定义的子空间上，使得总码字长度位于 $ [NS(\rho,\sigma) - \epsilon, NS(\rho,\sigma) + \epsilon] $ 范围内。
• 使用投影算符 $ \Pi $ 识别典型序列，确保在典型性条件下保真度 $ \geq 1 - \delta $。
• 通过 $ U^\dagger $ 将压缩后的态还原到原始基，完成压缩协议。
• 将平均压缩长度量化为 $ \langle l \rangle = S(\rho, \sigma) $，证明其作为压缩速率的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子交叉熵能否在量子源编码中被操作性地解释为压缩速率？
• RQ2 如何通过基于模型的方法将量子数据压缩推广至任意量子源？
• RQ3 量子交叉熵与最优压缩速率（冯·诺依曼熵）之间存在何种关系？
• RQ4 量子交叉熵能否作为量子机器学习中的损失函数，且在冯·诺依曼熵处取得最小值？
• RQ5 该协议如何在保持对不同源态普遍适用性的同时，确保高保真度压缩？

主要发现

• 量子交叉熵 $ S(\rho, \sigma) $ 被操作性地解释为次优量子源编码的压缩速率。
• 该协议实现了高保真度压缩，保真度 $ \geq 1 - \delta $，其中 $ \delta $ 为偏离典型性的概率。
• 对 $ \sigma $ 最小化量子交叉熵的结果等于冯·诺依曼熵 $ S(\rho) $，证实其为最优压缩速率。
• 当 $ \sigma = \rho $ 时，压缩速率 $ S(\rho, \sigma) $ 达到理论下界 $ S(\rho) $，验证了其最优性。
• 该协议具有普遍性，适用于任何可由密度矩阵表示的量子源，通过放宽严格典型性约束，推广了Schumacher压缩。
• 在强制使用整数量子比特数时，压缩速率 $ \langle l \rangle \in [S(\rho,\sigma), S(\rho,\sigma) + 1) $，确保了实际可实现性。