[论文解读] Quantum Davidson Algorithm for Excited States

Nikolay V. Tkachenko, Łukasz Cincio+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新型量子Krylov子空间方法——量子戴维德森（QDavidson）算法，通过迭代地利用本征态残差和预条件器扩展Krylov子空间，加速了基态与激发态计算的收敛速度。与现有QKS方法（如QLanczos）相比，该算法实现了更快的收敛速度和更浅的量子线路，因而对NISQ时代量子设备更具鲁棒性。

ABSTRACT

Excited state properties play a pivotal role in various chemical and physical phenomena, such as charge separation and light emission. However, the primary focus of most existing quantum algorithms has been the ground state, as seen in quantum phase estimation and the variational quantum eigensolver (VQE). Although VQE-type methods have been extended to explore excited states, these methods grapple with optimization challenges. In contrast, the quantum Krylov subspace (QKS) method has been introduced to address both ground and excited states, positioning itself as a cost-effective alternative to quantum phase estimation. Our research presents an economic QKS algorithm, which we term the quantum Davidson (QDavidson) algorithm. This innovation hinges on the iterative expansion of the Krylov subspace and the incorporation of a pre-conditioner within the Davidson framework. By using the residues of eigenstates to expand the Krylov subspace, we manage to formulate a compact subspace that aligns closely with the exact solutions. This iterative subspace expansion paves the way for a more rapid convergence in comparison to other QKS techniques, such as the quantum Lanczos. Using quantum simulators, we employ the novel QDavidson algorithm to delve into the excited state properties of various systems, spanning from the Heisenberg spin model to real molecules. Compared to the existing QKS methods, the QDavidson algorithm not only converges swiftly but also demands a significantly shallower circuit. This efficiency establishes the QDavidson method as a pragmatic tool for elucidating both ground and excited state properties on quantum computing platforms.

研究动机与目标

• 解决在量子多体系统中高效计算激发态的挑战，这些激发态对电荷分离和发光等过程至关重要。
• 克服现有量子算法（尤其是VQE类方法）存在的优化困难和高资源消耗问题。
• 开发一种成本更低的量子相位估计算法和现有量子Krylov子空间（QKS）方法的替代方案，后者依赖于通过实时间或虚时间演化预先生成的子空间。
• 通过避免扩展且数值不稳定的子空间，减少线路深度并提升NISQ时代量子计算的收敛速度。
• 通过迭代的、基于残差的子空间扩展，实现对低激发能级的实用化计算，显著降低量子资源需求。

提出的方法

• 提出一种新型量子Krylov子空间（QKS）算法——QDavidson，通过先前计算的本征态残差迭代扩展Krylov子空间。
• 在戴维德森框架中引入预条件器，聚焦于目标本征态，从而提升收敛速度和稳定性。
• 用动态的、基于残差的扩展机制替代传统通过实时间或虚时间演化预先生成子空间的方法。
• 利用量子线路测量演化Krylov子空间内哈密顿量和重叠矩阵元，统计噪声通过精度阈值建模。
• 通过受控算符库将残差向量映射为酉操作，测量成本按子空间大小和算符库大小进行缩放。
• 利用变分原理和迭代优化，以最小的线路深度收敛到精确的能量本征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种量子Krylov子空间方法，使其收敛速度比现有QKS技术（如QLanczos）更快且线路更浅？
• RQ2 使用本征态残差而非时间演化态，是否能生成更紧凑、更精确的Krylov子空间，以提升激发态计算的性能？
• RQ3 在QKS框架中引入预条件器，如何提升收敛速度和数值稳定性？
• RQ4 为确保在NISQ设备中对统计噪声的鲁棒性，所需量子线路测量次数和精度水平是多少？
• RQ5 QDavidson算法能否在真实噪声条件下准确重现真实分子体系（如C2H4）的激发态能量？

主要发现

• 对于C2H4分子，当使用Hartree-Fock参考态初始化时，QDavidson算法仅在一个迭代内即实现收敛。
• 该算法成功重现了S0和S2激发态能量，分别为−77.115 ± 0.001和−76.375 ± 0.001，精度阈值为10−4。
• 所需总测量次数估算为~10^10，每次电路评估约10^8次测量，表明在真实噪声条件下具有可行性。
• 由于采用基于残差的预条件子空间扩展，QDavidson在收敛速度上显著优于QLanczos及其他QKS方法。
• 由于收敛迅速，线路深度保持较浅，从而增强了NISQ设备中对噪声的抗性。
• 即使在哈密顿量矩阵元受到随机噪声扰动的情况下，该方法仍保持数值稳定性，证实了对统计测量噪声的鲁棒性。