[论文解读] Quantum deformation of Whittaker modules and Toda lattice

A. Sevostyanov|ArXiv.org|May 20, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用 9

一句话总结

本文通过引入正则幂零元的量子类比，将 Kostant 的泛包络代数中心的 Whittaker 模型推广至量子群，从而实现了量子 Whittaker 模的构造。该方法为变形量子 Toda 晶格的完全可积性提供了新的证明，将 Kostant 的原始方法扩展至量子情形，运用了量子代数与表示论的技术。

ABSTRACT

In 1978 Kostant suggested the Whittaker model of the center of the universal enveloping algebra U(g) of a complex simple Lie algebra g. The main result is that the center of U(g) is isomorphic to a commutative subalgebra in U(b), where b is a Borel subalgebra in g. This observation is used in the theory of principal series representations of the corresponding Lie group G and in the proof of complete integrability of the quantum Toda lattice. In this paper we generalize the Kostant's construction to quantum groups. In our construction we use quantum analogues of regular nilpotent elements defined in math.QA/9812107. Using the Whittaker model of the center of 5the algebra U_h(g) we define quantum deformations of Whittaker modules. The new Whittaker model is also applied to the deformed quantum Toda lattice recently studied by Etingof in math.QA/9901053. We give new proofs of his results which resemble the original Kostant's proofs for the quantum Toda lattice.

研究动机与目标

• 将 Kostant 对 U(g) 中心的经典 Whittaker 模型推广至量子群。
• 通过正则幂零元的量子类比，定义 Whittaker 模的量子变形。
• 将新的 Whittaker 模应用于 Etingof 引入的变形量子 Toda 晶格。
• 为变形量子 Toda 晶格的完全可积性提供新的、类似 Kostant 的证明。
• 建立一个用于通过表示论方法研究可积系统的量子群框架。

提出的方法

• 利用 math.QA/9812107 中定义的正则幂零元的量子类比，构造量子 Whittaker 模。
• 将 Whittaker 模应用于量子群 U_h(g) 的中心，推广经典情形。
• 在量子 Borel 子代数 U_h(b) 中构造一个交换子代数，类比 Kostant 的构造。
• 运用表示论技术分析量子 Whittaker 模的结构。
• 将 Kostant 原始证明方法适配至变形量子群情形，以处理量子 Toda 晶格。
• 利用量子群结构推导变形 Toda 系统的可积性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Kostant 对 U(g) 中心的 Whittaker 模型推广至量子群？
• RQ2 正则幂零元的量子类比是什么？它们如何促进量子 Whittaker 模的构造？
• RQ3 Whittaker 模能否应用于变形量子 Toda 晶格，以证明其完全可积性？
• RQ4 新的量子 Whittaker 模与 U_h(g) 的表示理论有何关系？
• RQ5 Kostant 对量子 Toda 晶格的经典证明在多大程度上可被适配至量子群情形？

主要发现

• 量子群 U_h(g) 的中心微分同构于量子 Borel 子代数 U_h(b) 中的一个交换子代数，推广了 Kostant 的经典结果。
• 通过正则幂零元的量子类比构造了量子 Whittaker 模，为经典 Whittaker 模提供了变形。
• 新 Whittaker 模使我们能够以类比 Kostant 原始方法的方式，为变形量子 Toda 晶格的完全可积性提供新证明。
• 该构造在量子群表示论与通过 Toda 晶格联系的可积系统之间建立了直接关联。
• 该方法通过基于量子代数的表示论框架，重现了 Etingof 对变形量子 Toda 晶格的结果。