[论文解读] Quantum differential equation solvers: limitations and fast-forwarding

Dong An, Jinpeng Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2022

Neural Networks and Reservoir Computing被引用 25

一句话总结

本文分析线性常微分方程的量子算法，超越量子动力学，证明与实部间隙和非正规性相关的下界，并为具有已知特征本征系的特殊情形（包括演化偏微分方程）开发了快进技术。

ABSTRACT

We study the limitations and fast-forwarding of quantum algorithms for linear ordinary differential equation (ODE) systems with a particular focus on non-quantum dynamics, where the coefficient matrix in the ODE is not anti-Hermitian or the ODE is inhomogeneous. On the one hand, for generic linear ODEs, by proving worst-case lower bounds, we show that quantum algorithms suffer from computational overheads due to two types of ``non-quantumness'': real part gap and non-normality of the coefficient matrix. We then show that homogeneous ODEs in the absence of both types of ``non-quantumness'' are equivalent to quantum dynamics, and reach the conclusion that quantum algorithms for quantum dynamics work best. To obtain these lower bounds, we propose a general framework for proving lower bounds on quantum algorithms that are amplifiers, meaning that they amplify the difference between a pair of input quantum states. On the other hand, we show how to fast-forward quantum algorithms for solving special classes of ODEs which leads to improved efficiency. More specifically, we obtain exponential improvements in both $T$ and the spectral norm of the coefficient matrix for inhomogeneous ODEs with efficiently implementable eigensystems, including various spatially discretized linear evolutionary partial differential equations. We give fast-forwarding algorithms that are conceptually different from existing ones in the sense that they neither require time discretization nor solving high-dimensional linear systems.

研究动机与目标

• 识别超越量子动力学的一般量子 ODE 求解器的基本局限性（下界）。
• 描述在何种条件下非量子性（实部间隙、非正规性）会降低效率。
• 为具有已知特征本征系的定制化 ODE 求解器开发快进策略。
• 将快进扩展到非齐次 ODEs，并应用于空间离散化的 PDE。
• 提出一种一次性求解器设计，避免时间离散化和高维线性系统。

提出的方法

• 引入基于放大器的框架，通过将 ODE 求解器与量子态辨别联系起来来推导下界。
• 证明下界，表明当特征值存在实部间隙时具有指数级额外开销。
• 证明当系数矩阵非正规时具有线性开销。
• 展示平移等价性：将 A 以实数常数平移使齐次非量子动力学与量子动力学等价。
• 为负半定的 A（已知特征值/特征向量）以及对具有可在经典上计算的特征对且可在量子上实现的特征态的一般矩阵开发快进算法。
• 使用量子态线性组合，将非齐次 ODEs 和随时间变化的非齐次项推广到一般情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 特征值实部间隙和矩阵非正规性是否对一般量子 ODE 求解器施加基本下界？
• RQ2 我们是否可以对特殊类别的 A（例如具有已知特征本征系的情况）和/或具有结构化非齐次项的情形实现量子 ODE 求解器的快进？
• RQ3 平移等价性和正规性如何与量子动力学等价相关？
• RQ4 快进是否可以扩展到随时间变化或非齐次项以及 PDE 离散化？
• RQ5 具有空间离散化的演化 PDE 的实际应用有哪些？

主要发现

• 下界：当特征值实部不同（实部间隙）时有指数级开销。
• 下界：当 A 为非正规时具有线性开销（基于非正规性度量）。
• 具有正常 A 且实部相同的齐次 ODE 通过平移等价性与量子动力学等价。
• 对特殊 A 可以快进：当特征值/特征向量在经典上可计算且在量子上可实现时，在时间 T 和/或范数 ∥A∥ 上实现指数级改进。
• 对于非齐次 ODE 的一次性、非时间离散化求解器通过线性组合齐次部分和非齐次部分实现快进。
• 将快速推进应用于具有已知特征本征的进化型 PDE（抛物型、双曲型及高阶）可实现快进。