[论文解读] Quantum discord for two-qubit CS states: Analytical solution

M. A. Yurishchev|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2013

Quantum Information and Cryptography被引用 3

一句话总结

本文通过使用Hadamard门建立了一种通用的局部正交变换，将任意两比特中心对称（CS）密度矩阵映射为X型密度矩阵，从而可通过已知的X态公式实现对所有CS态的量子 discord 的解析计算。核心贡献是为CS态中的量子 discord 提供了一般解析解，适用于如XXZ自旋链、纳米孔中携带自旋的粒子以及赝纯态等物理系统。

ABSTRACT

We found an universal local unitary (orthogonal) transformation which transforms any centrosymmetric (CS) density matrix ρ_{CS} into the X density matrix ρ_X: H\otimes Hρ_{CS}H\otimes H=ρ_X, where H is the Hadamard transformation. Because quantum discord is invariant under the local unitary transformations, this remarkable property allows to get the discord of general two-qubit CS states in the analytical form using the corresponding well-known formulas for the X states. Examples of systems with CS density matrices provided from the recent literature, including XXZ spin model with the Dzyaloshinsky-Moriya interaction, a gas of spin-carrying particles in closed nanopore, and a family of pseudopure states.

研究动机与目标

• 开发一种计算两比特中心对称（CS）密度矩阵中量子 discord 的通用解析方法。
• 解决量子 discord 通常仅对X态可计算，而对一般CS态难以计算的挑战。
• 建立一种通用的局部正交变换，将CS态映射为X态，同时保持 discord 值不变。
• 将该方法应用于物理系统，如具有Dzyaloshinsky-Moriya相互作用的XXZ自旋模型、纳米孔中的自旋粒子以及赝纯态。
• 为这些物理上相关的系统提供量子 discord 的精确解析表达式。

提出的方法

• 利用Hadamard变换 $ H \otimes H $ 将任意两比特CS密度矩阵 $ \rho_{CS} $ 变换为X态 $ \rho_X $，满足 $ H\otimes H \rho_{CS} H\otimes H = \rho_X $。
• 利用量子 discord 在局部酉操作下不变的性质，因此 $ Q(\rho_{CS}) = Q(\rho_X) $，从而可应用已知的X态解析公式。
• 通过显式代数关系将 $ \rho_X $ 的参数用 $ \rho_{CS} $ 的参数表示（例如，$ q_1 = \frac{1}{4} + p_2 + p_4 + \frac{1}{2}(p_6 + p_7) $）。
• 将该变换应用于物理模型：推导具有Dzyaloshinsky-Moriya相互作用的XXZ自旋链和纳米孔中自旋粒子的X型密度矩阵形式。
• 通过额外的局部酉旋转（如 $ U = \exp(-i\varphi \sigma_z/2) $）消除X态中的虚数非对角项，将其简化为实X态，此时discord公式最为简洁。
• 应用实X态中discord的已知解析公式计算 $ Q = \min\{Q_1, Q_2\} $，其中 $ Q_1 $ 和 $ Q_2 $ 通过密度矩阵的冯诺依曼熵和本征值定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以对所有非X型的两比特中心对称（CS）密度矩阵解析计算量子 discord？
• RQ2 是否存在一种通用的局部变换，可将任意CS态映射为X态，同时保持量子 discord 不变？
• RQ3 如何将X态的解析 discord 公式推广至由CS密度矩阵描述的物理系统？
• RQ4 在封闭纳米孔中束缚的自旋携带粒子气体中，量子 discord 的行为如何？
• RQ5 该方法是否可应用于赝纯态？若可，其对应的 discord 表达式为何？

主要发现

• Hadamard变换 $ H \otimes H $ 将任意两比特CS态映射为X态，建立了两类态之间的一一对应关系。
• 由于量子 discord 在该变换下保持不变，因此 $ Q(\rho_{CS}) = Q(\rho_X) $，从而可对所有CS态实现 discord 的解析计算。
• 对于具有Dzyaloshinsky-Moriya相互作用的XXZ自旋模型，变换后的密度矩阵呈现X型 $ \rho' $，从而可实现 discord 的精确评估。
• 在 $ N=20 $ 个粒子、$ \beta=1 $ 的纳米孔模型中，量子 discord 随时间振荡，并在 $ p=u=0 $、$ r=q=\frac{1}{8}\tanh^2(\beta/2) $ 时趋于饱和，$ Q \approx 0.15 $。
• 对于赝纯态 $ \rho_{PP} = \alpha|\psi\rangle\langle\psi| + \frac{1-\alpha}{4}I $，若 $ |\psi\rangle $ 的形式为 $ a(|00\rangle + |11\rangle) + b(|01\rangle + |10\rangle) $，则该态为CS态，其 discord 可通过所提方法精确解析计算。
• 纳米孔系统中最终的 discord 表达式为 $ Q = \min\{Q_1, Q_2\} $，其中 $ Q_1 $ 和 $ Q_2 $ 通过局部旋转消除 $ xy $-项后所得实X态的本征值和熵定义。