[论文解读] Quantum Double of Yangian of Lie Superalgebra $A(m,n)$ and computation of Universal $R$-matrix

Vladimir Stukopin|ArXiv.org|Apr 14, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文通过受 Khoroshkin 和 Tolstoy 关于杨代数双代数工作的启发，推导出李超代数 $A(m,n)$ 的量子双代数的通用 R-矩阵的显式分解公式。通用 R-矩阵被表示为三个有序的无限指数乘积，分别对应正根、Cartan 生成元和负根，其系数显式依赖于根系和 Casimir 算子，将已知结果推广至超代数情形。

ABSTRACT

Yangian Double $DY(A(m,n))$ of Lie Superalgebra $A(m,n)$ is described in terms of generators and defining relations. It is proved triangular decomposition for Yangian $Y(A(m,n))$ and its quantum double $DY(A(m,n))$ as a corollary of PBW theorem. It is introduced the normally ordered bases in Yangian and its dual Hopf superalgebra in quantum double. It is calculated the pairing formulas between the elements of its bases. It is received the formula of Universal $R$-matrix of Yangian Double. The formula for Universal $R$-matrix of Yangian, which was introduced by V. Drinfel'd, is received also.

研究动机与目标

• 通过生成元与定义关系构造李超代数 $A(m,n)$ 的杨代数的量子双代数 $DY(A(m,n))$。
• 基于移位算子与根系分解的系统方法，计算 $DY(A(m,n))$ 的通用 R-矩阵。
• 将已知的简单李代数情形下通用 R-矩阵的乘法公式推广至超代数情形，特别是 $A(m,n)$ 情形。
• 作为一般构造的特例，提供 $Y(\frak{sl}_2)$ 的通用 R-矩阵的显式公式。

提出的方法

• 基于 Drinfel'd 方法，为 $\frak{g}=A(m,n)$ 的杨代数 $Y(\frak{g})$ 构造其量子双代数 $DY(\frak{g})$，通过生成元与定义关系。
• 将通用 R-矩阵分解为三个部分：$R_+(\theta)$、$R_0(\theta)$ 和 $R_-(\theta)$，分别对应正根、Cartan 生成元和负根。
• $R_+$ 和 $R_-$ 分量表示为涉及根向量 $e_\beta$、$e_{-\beta}$ 及结构常数的有序无限指数乘积，其系数依赖于根的序数与二项式系数。
• $R_0$ 分量通过作用于 Cartan 生成元生成函数的移位算子导出，其中 $T_\theta$ 表示谱参数的平移。
• 该构造借鉴了 Khoroshkin 和 Tolstoy 在杨代数双代数方面的工作，通过算子 $t^\theta$ 引入仿射 Weyl 群元素的类比。
• 最终公式通过将移位算子 $id \otimes T_\theta$ 作用于量子双代数的通用 R-矩阵，得到原始杨代数的通用 R-矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过生成元与定义关系显式描述李超代数 $A(m,n)$ 的杨代数的量子双代数？
• RQ2 $Y(A(m,n))$ 的量子双代数的通用 R-矩阵具有怎样的结构？
• RQ3 如何利用移位算子从其量子双代数的通用 R-矩阵推导出 $Y(A(m,n))$ 的通用 R-矩阵？
• RQ4 $A(m,n)$ 的杨代数的通用 R-矩阵的显式分解形式是什么，特别是其与根系和二项式系数的关系？
• RQ5 已知的 $Y(\frak{sl}_2)$ 的通用 R-矩阵公式能否作为一般构造的特例被恢复？

主要发现

• 量子双代数 $DY(A(m,n))$ 的通用 R-矩阵被显式构造为 $R(\theta) = R_+(\theta) R_0(\theta) R_-(\theta)$，其中每一部分均表示为有序的无限指数乘积。
• $R_+(\theta)$ 和 $R_-(\theta)$ 分量由以下公式给出：$\overrightarrow{\prod}_{\beta \in \Xi_+} \exp\left( -(-1)^{\theta(\beta)} a(\beta) \sum_{k=0}^\infty (-1)^k C^{\text{ord}(\beta)-1}_{k+\text{ord}(\beta)-1} (e_\beta \otimes e_{-\beta + (\text{ord}(\beta)+k)\delta}) \theta^{-\text{ord}(\beta)-k-1} \right)$，$R_-$ 的表达式类似。
• $R_0(\theta)$ 分量表示为对所有 $n \geq 0$ 的指数乘积，涉及 Cartan 生成元生成函数的导数与结构常数。
• 在 $\frak{sl}_2$ 的特例下，通用 R-矩阵以简化形式被恢复：$R_+(\theta) = \overrightarrow{\prod}_{n \geq 0} \exp\left( \sum_{m=0}^k C^n_{k} (-1)^n e_n \otimes f_{k-n} \theta^{-k-1} \right)$，$R_-$ 有类似表达式。
• 移位算子 $T_\theta$ 对 Cartan 生成元的作用为 $T_\theta(h_i^-(u)) = h_i^+(u + \theta)$，从而使得 $R_0(\theta)$ 可从量子双代数结构导出。
• 最终，$Y(A(m,n))$ 的通用 R-矩阵公式为 $R(\theta) = R_+(\theta) R_0(\theta) R_-(\theta)$，其中每一因子均有显式表达式，完成了因子分解构造。