[论文解读] Quantum embeddings for machine learning

Seth Lloyd, Maria Schuld+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 69

一句话总结

论文提出用于量子嵌入的度量学习：训练嵌入以最大化希尔伯特空间中数据簇之间的分离，然后使用最优量子测量（Helstrøm 或 fidelity）进行分类。这带来一个框架，在该框架中嵌入决定性能，且在给定所选度量时测量是已知的。

ABSTRACT

Quantum classifiers are trainable quantum circuits used as machine learning models. The first part of the circuit implements a quantum feature map that encodes classical inputs into quantum states, embedding the data in a high-dimensional Hilbert space; the second part of the circuit executes a quantum measurement interpreted as the output of the model. Usually, the measurement is trained to distinguish quantum-embedded data. We propose to instead train the first part of the circuit -- the embedding -- with the objective of maximally separating data classes in Hilbert space, a strategy we call quantum metric learning. As a result, the measurement minimizing a linear classification loss is already known and depends on the metric used: for embeddings separating data using the l1 or trace distance, this is the Helstrom measurement, while for the l2 or Hilbert-Schmidt distance, it is a simple overlap measurement. This approach provides a powerful analytic framework for quantum machine learning and eliminates a major component in current models, freeing up more precious resources to best leverage the capabilities of near-term quantum information processors.

研究动机与目标

• 将经典数据嵌入为量子态，利用可训练的量子特征映射，在希尔伯特空间中创建尽可能分离的簇。
• 表明希尔伯特空间度量的选择决定了最优测量（对于迹距离使用 Helstrøm；对于保真度/重叠使用 Hilbert-Schmidt 距离）。
• 提供一个分析框架，降低量子分类器中对资源密集型自适应测量的需求。
• 展示使用 PennyLane 训练量子嵌入并通过小规模示例评估性能。
• 讨论实验可行性以及近端量子设备潜在的量子优势。

提出的方法

• 通过线路 Phi(x, theta) 定义量子嵌入，产生 |x> = Phi(x, theta)|0...0>。
• 描述来自两个类别 A 和 B 的两个数据集 ρ 与 σ，并将经验风险与度量相关的测量联系起来。
• 使用线性损失和经验风险 -tr((ρ−σ)M)，并将其与希尔伯特空间度量联系起来：对于保真度，风险对应于 −D_hs(ρ,σ)；对于 Helstrøm，风险对应于 −2 D_tr(ρ,σ)。
• 证明最优测量是保真度（swap 测试）或 Helstrøm 投影到 ρ−σ 的 ± 子空间。
• 由于电路效率，重点将实际训练聚焦在 Hilbert-Schmidt 距离上；讨论与迹距离和低秩嵌入的关系。
• 提供实现两种测量的电路与分析，并讨论通过 PennyLane 的嵌入训练。

实验结果

研究问题

• RQ1 经过训练以最大化希尔伯特空间分离的量子嵌入是否能够在已知量子测量下实现最优或接近最优的分类？
• RQ2 嵌入度量（迹距离 vs Hilbert-Schmidt 距离）与量子分类器中相应的最优测量（Helstrøm vs 保真度）之间的关系是什么？
• RQ3 在近端量子硬件上使用浅电路和标准优化对量子嵌入进行训练和部署有多可行？
• RQ4 度量量子学习是否通过将分离前移到嵌入中而不是测量来降低资源需求？
• RQ5 低秩嵌入如何影响量子分类器的泛化和样本需求？

主要发现

• 训练嵌入以最大化簇分离可以产生在希尔伯特空间中对应于最优测量的判决边界。
• 基于保真度的（Hilbert-Schmidt）优化通过重叠测量（如 SWAP 测试）实现可行、简短的量子电路。
• 基于 Helstrøm（迹距离）的判定对应于将 ρ−σ 投影到正/负子空间，并配有高效电路。
• 最优测量的选择取决于所选的希尔伯特空间度量，提供了一个清晰的量子机器学习分析框架。
• 对小型数据集（如 2D 月牙数据）的数值演示显示两种方法之间的判定边界相似但并不完全相同。
• 讨论指出嵌入可以是高维的，且可能对经典计算不可访问，提供潜在的量子优势。