[论文解读] Quantum Entanglement and Detection of Topological Order in Numerics

Tarun Grover|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2011

Quantum many-body systems参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出一种方法，通过利用拓扑序相中简并基态的纠缠结构，在数值模拟中检测拓扑序。通过分析这些态的 Schmidt 分解，纠缠熵中的非普遍面积律项被抵消，从而可通过一个简单公式直接提取出普遍的拓扑纠缠熵 $\gamma_{\text{topo}}$，并在一个 18 位的手征自旋液体态上通过数值验证，与理论预测 $\gamma_{\text{topo}} = \ln(2) \approx 0.69$ 高度一致。该方法兼容 DMRG 和精确对角化，并且无论是否存在边缘态均可适用。

ABSTRACT

"Topological ordered" phases such as gapped quantum spin-liquids and fractional quantum Hall states possess ground state degeneracy on a torus. We show that the topological nature of this degeneracy has interesting consequences for the entanglement structure of the degenerate ground states. This leads to a simple method for detecting topological order, which is ready-made for numerical schemes such as density matrix renormalization group. The method is valid for phases that do or do not possess edge states alike. We demonstrate it by calculating the entanglement spectrum and the topological entanglement entropy for a chiral spin-liquid state on a 18 site system.

研究动机与目标

• 开发一种在能隙量子相中检测拓扑序的实用数值方法，尤其针对因费米子符号问题而使量子蒙特卡洛方法失效的情况。
• 克服从标准 DMRG 模拟中提取普遍拓扑纠缠熵 $\gamma_{\text{topo}}$ 的困难，这些模拟受限于有限尺寸效应且缺乏三体纠缠计算。
• 提出一种方案，利用简并基态抵消纠缠熵中的非普遍面积律项，从而实现对 $\gamma_{\text{topo}}$ 的稳健提取。
• 在小系统（18 个位）的手征自旋液体态上验证该方法，展示其与理论值 $\gamma_{\text{topo}} = \ln(2)$ 的一致性。
• 将基于纠缠的诊断方法扩展至具有涌现规范玻色子的量子序相，以区分拓扑简并与无能隙光子样模式。

提出的方法

• 该方法依赖于拓扑序相中所有简并基态在纠缠熵中具有相同的非普遍面积律项，使得在比较不同基态的 Schmidt 谱时可实现抵消。
• 利用通过 DMRG 或精确对角化获得的两个或多个简并基态 $|\psi_1\rangle$ 和 $|\psi_2\rangle$ 的 Schmidt 分解，其约化密度矩阵结构相同。
• 关键方程为 $S_2(\phi) = \cos^2(\phi) S_2(|\psi_1\rangle) + \sin^2(\phi) S_2(|\psi_2\rangle)$，其中差值 $S_{2,\text{max}} - S_{2,\text{min}} = 2\gamma_{\text{topo}}$ 与叠加角 $\phi$ 无关。
• 该方法应用于参数化为平均场 d 轨道 BCS 配对参数 $\Delta$ 的手征自旋液体波函数，从而系统性地改变简并态叠加中的纠缠熵。
• 通过在叠加参数 $\phi$ 上取最大值和最小值的 Renyi 熵 $S_2$ 提取拓扑纠缠熵，其差值即为 $2\gamma_{\text{topo}}$。
• 该方法避免了复杂的三体纠缠测度（如式 (3)），即使在存在有限尺寸效应的小系统中仍保持准确性，只要相关长度 $\xi \ll L$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在小系统中，利用标准 DMRG 或精确对角化，从简并基态可靠地提取拓扑纠缠熵 $\gamma_{\text{topo}}$？
• RQ2 在拓扑序相中，简并基态的纠缠谱是否保持相同，即使这些态仅近似简并？
• RQ3 能否利用简并态叠加中 Renyi 熵 $S_2$ 的差值来提取 $\gamma_{\text{topo}}$，而无需依赖三体纠缠测度？
• RQ4 该方法对有限尺寸效应和近似简并是否具有鲁棒性，如在真实量子自旋液体数值模拟中所见？
• RQ5 这种基于纠缠的方法能否区分量子序相中拓扑简并与无能隙规范模式？

主要发现

• 该方法成功从一个 18 位的手征自旋液体态中提取出 $\gamma_{\text{topo}}$，得到 $S_{2,\text{max}} - S_{2,\text{min}} \approx 0.67$，与理论值 $\ln(2) \approx 0.69$ 非常接近。
• 两个近似简并的基态（$|0,0\rangle$ 和 $|0,\pi\rangle$）的纠缠谱完全相同，证实了不同简并态中 Schmidt 本征值 $\lambda_\alpha$ 相同。
• 对应于相同 $\lambda_\alpha$ 的 Schmidt 态在不同简并基态之间正交，如式 (5) 所预测，验证了理论框架。
• 简并态叠加中 $S_2$ 的差值与叠加角 $\phi$ 无关，证实了理论预测：$S_2(\phi)$ 仅依赖于各态的独立 $S_2$ 值。
• 该方法在自旋-$1/2$ 系统中对 $N=30-40$ 个位的系统在数值上是可行的，只要相关长度 $\xi \ll L$。
• 该方法适用于具有和不具有边缘态的拓扑序，并可通过纠缠结构区分量子序相中的拓扑简并与无能隙规范模式。