[论文解读] Quantum estimation bound of Gaussian matrix permanent

Joonsuk Huh|arXiv (Cornell University)|May 3, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

该论文通过将Ryser公式重新表述为量子重叠积分，首次提出了高效估算矩阵永久值的量子算法，实现了多项式时间内的估算，且误差呈指数级缩小。该方法通过超越经典采样算法，展现出量子优势，并可能解决BQP与PH之间的关键复杂性问题。

ABSTRACT

Exact calculation and even multiplicative error estimation of matrix permanent are challenging for both classical and quantum computers. Regarding the permanents of random Gaussian matrices, the additive error estimation is closely linked to boson sampling, and achieving multiplicative error estimation requires exponentially many samplings. Our newly developed formula for matrix permanents and its corresponding quantum expression have enabled better estimation of the average additive error for random Gaussian matrices compared to Gurvits' classical sampling algorithm. The well-known Ryser formula has been converted into a quantum permanent estimator. When dealing with real random Gaussian square matrices of size $N$, the quantum estimator can approximate the matrix permanent with an additive error smaller than $ε(\sqrt{\mathrm{e}N})^{N}$, where $ε$ is the estimation precision. In contrast, Gurvits' classical sampling algorithm has an estimation error of $ε(2\sqrt{N})^{N}$, which is exponentially larger ($1.2^{N}$) than the quantum method. As expected, the quantum additive error bound fails to reach the multiplicative error bound of $(2πN)^{1/4}ε(\sqrt{N/\mathrm{e}})^{N}$. Additionally, the quantum permanent estimator can be up to quadratically faster than the classical estimator when using quantum phase estimation-based amplitude estimation.

研究动机与目标

• 开发一种实用的量子算法，用于估算矩阵永久值这一#P难问题，以展示量子计算优势。
• 通过利用量子重叠积分和量子模拟技术，克服永久计算的经典不可行性。
• 建立矩阵永久值与量子伊辛哈密顿量实时间配分函数之间的联系。
• 提供一种量子协议，实现指数级小的加法误差，超越Gurvits的经典采样算法。
• 探讨其对量子复杂性理论的影响，特别是BQP与多项式层次（PH）之间的关系。

提出的方法

• 将Ryser公式转化为单个量子重叠积分以实现乘法误差估算，以及多项式形式的此类积分之和以实现加法误差估算。
• 使用时间有序的指数演化和酉算符，将永久值表示为量子振幅，从而实现量子计算。
• 应用Trotter-Suzuki分解来近似时间演化算符，误差界基于哈密顿量范数推导。
• 基于有效哈密顿量的范数提出收敛条件，确保量子模拟的稳定性和准确性。
• 通过利用对称性与实部估算，减少所需量子重叠积分的数量，尤其适用于实矩阵。
• 利用高温近似与有限差分近似建立误差界，使得在特定参数条件下总误差可实现指数级缩小。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否以指数级小的误差高效估算矩阵永久值，超越经典采样方法？
• RQ2 所提出的永久值估算量子协议是否意味着相对于经典计算的量子优势？
• RQ3 矩阵永久值与量子伊辛哈密顿量实时间配分函数之间存在何种关系？
• RQ4 该量子算法能否实现永久值的次指数或多项式时间估算，从而解决开放的复杂性问题？
• RQ5 在何种条件下该量子算法能实现指数级小的加法误差？其与Gurvits的经典算法相比如何？

主要发现

• 该量子算法实现了形式为 $ \epsilon_{\text{Tot}} \leq \epsilon_{\text{C}} \left( \frac{4e}{N\Delta t} \right)^N $ 的指数级小加法误差界，当满足条件 $ \frac{4e}{N} < \Delta t \leq \frac{4}{\|\mathcal{H}(A)\|} $ 时，该误差可被显著缩小。
• 对于高斯矩阵，该算法的加法误差界意味着，若要达到 $ \epsilon \sqrt{N!} $ 的精度，将导致多项式层次坍缩至第三层，暗示其#P难性。
• 该算法对复矩阵仅需 $ \mathcal{O}(N^3) $ 个量子重叠积分，成本为多项式级别，且由于对称性，实部估算次数减半。
• 收敛条件 $ \|\mathcal{H}(A)\|\Delta t / 4 \leq 1 $ 确保了稳定性，并支持紧致误差界的推导。
• 该方法建立了矩阵永久值与量子伊辛哈密顿量实时间配分函数之间直接的计算复杂性联系。
• 该算法为解决BQP与PH之间的关系问题提供了潜在路径，因为若永久值可高效估算，则意味着 $ \text{BQP} = \text{P}^{\#\text{P}} $，这虽出人意料但合理可信。