[论文解读] Quantum factorization of 56153 with only 4 qubits

Nikesh S. Dattani, Nathaniel Bryans|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 10

一句话总结

本文表明，2012 年的 NMR 量子因数分解实验实际上在未事先知晓因数的情况下，仅使用 4 个量子比特，便对 143 以外的更大数字（包括 56153）完成了因数分解，方法是通过一个 4 量子比特哈密顿量，将因数分解问题映射为基态最小化问题。此外，本文还展示了对三因数合数 175 的 3 量子比特因数分解，表明在非半素数的因数分解中，哈密顿量中会出现更高阶的相互作用，揭示了在处理具有超过两个质因数的合数时，实现量子优势的路径。

ABSTRACT

The largest number factored on a quantum device reported until now was 143. That quantum computation, which used only 4 qubits at 300K, actually also factored much larger numbers such as 3599, 11663, and 56153, without the awareness of the authors of that work. Furthermore, unlike the implementations of Shor's algorithm performed thus far, these 4-qubit factorizations do not need to use prior knowledge of the answer. However, because they only use 4 qubits, these factorizations can also be performed trivially on classical computers. We discover a class of numbers for which the power of quantum information actually comes into play. We then demonstrate a 3-qubit factorization of 175, which would be the first quantum factorization of a triprime.

研究动机与目标

• 揭示 2012 年 NMR 实验不仅分解了 143，还使用仅 4 个量子比特在未事先知晓因数的情况下分解了更大的数字，如 56153。
• 证明当处理具有超过两个质因数的数字时，量子计算在因数分解中的能力才真正显现，这需要更高阶的量子比特相互作用。
• 提出一种基于离散化哈密顿量最小化的量子因数分解方案，该方案编码了因数分解的约束条件，适用于半素数和三因数合数。
• 表明 3 量子比特系统可成功分解三因数合数 175，其中必须引入三体相互作用，而半素数仅需二体相互作用。
• 建立一个框架，使量子优势在因数分解中的实现不再局限于大半素数，而是转向具有超过两个质因数的合数。

提出的方法

• 通过将乘法表表示为包含进位变量的二进制方程组，将因数分解问题转化为离散优化问题。
• 因数分解问题的解被编码在由二进制乘法方程残差平方和构成的哈密顿量的基态中。
• 对于 143，哈密顿量由公式 (7)–(9) 推导得出，简化为一个最小化 (p₁+q₁−1)² + (p₂+q₂−1)² + (p₂q₁+p₁q₂−1)² 的 4 量子比特系统。
• 对于 175，构建了一个基于公式 (37)–(38) 的 3 量子比特哈密顿量，其目标是最小化 (p₁+q₁+r₁−1)² + (p₁q₁+q₁r₁+p₁r₁)²，该表达式编码了三因数合数 175 的因数分解。
• 哈密顿量的基态对应于因数分解问题的经典解，本征值表示有效的因数对。
• 该方法避免使用 Shor 算法，转而采用通过哈密顿量最小化实现的量子绝热优化，适用于具有多个质因数的数字。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明 2012 年 NMR 实验中因数分解 143 的过程实际上也分解了更大的数字（如 56153），且未事先知晓因数？
• RQ2 使用量子优化方法分解三因数合数 175 所需的最小量子比特数是多少？
• RQ3 随着待分解数字中质因数个数的增加，所需量子比特相互作用（二体 vs. 三体）如何变化？
• RQ4 该哈密顿量最小化技术能否推广至使用可扩展的量子架构分解具有超过两个质因数的数字？
• RQ5 哈密顿量中使用更高阶相互作用是否代表了量子计算在因数分解中真正超越经典方法的领域？

主要发现

• 2012 年 NMR 实验在未事先知晓解的情况下，仅使用 4 个量子比特便成功分解了 56153，尽管作者当时并未意识到这一点。
• 56153 的因数分解通过一个 4 量子比特哈密顿量实现，该哈密顿量最小化了二进制乘法方程的残差平方和，其基态编码了正确的因数。
• 3 量子比特系统成功分解了三因数合数 175，其基态对应于因数分解 175 = 5 × 5 × 7，证明了对非半素数的可行性。
• 175 的哈密顿量涉及三体相互作用，这由展开形式中的项 6p₁q₁r₁ 所证实，表明此类相互作用对具有超过两个质因数的数字是必需的。
• 175 哈密顿量的基态包含三个简并解：(p₁,q₁,r₁) = (0,0,1)、(0,1,0) 和 (1,0,0)，分别对应于 175 的三种不同因数分解方式。
• 该方法表明，量子因数分解中的优势可能并非出现在大半素数上，而是出现在具有超过两个质因数的数字上，因为经典算法在这些数字上面临更大困难。