[论文解读] Quantum Fast-Forwarding: Markov Chains and Graph Property Testing

Simon Apers, Alain Scarlet|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 58被引用 10

一句话总结

本文提出了量子快速前向传播（QFF），一种利用量子行走模拟可逆马尔可夫链瞬态动力学的量子算法，实现了二次加速。通过利用酉矩阵的线性组合与截断切比雪夫展开，QFF 以 $ O(\|D^t\ket{v}\|^{-1} \sqrt{t \log(\epsilon \|D^t\ket{v}\|)^{-1}}) $ 的期望量子行走步数，准备出与 $ D^t \ket{v} $ 非常接近的量子态，从而在图性质测试和 $ s $-$ t $ 连通性问题中实现加速。

ABSTRACT

We introduce a new tool for quantum algorithms called quantum fast-forwarding (QFF). The tool uses quantum walks as a means to quadratically fast-forward a reversible Markov chain. More specifically, with $P$ the Markov chain transition matrix and $D = \\sqrt{P\\circ P^T}$ its discriminant matrix ($D=P$ if $P$ is symmetric), we construct a quantum walk algorithm that for any quantum state $|v\ angle$ and integer $t$ returns a quantum state $\\epsilon$-close to the state $D^t|v\ angle/\\|D^t|v\ angle\\|$. The algorithm uses $O\\Big(\\|D^t|v\ angle\\|^{-1}\\sqrt{t\\log(\\epsilon\\|D^t|v\ angle\\|)^{-1}}\\Big)$ expected quantum walk steps and $O(\\|D^t|v\ angle\\|^{-1})$ expected reflections around $|v\ angle$. This shows that quantum walks can accelerate the transient dynamics of Markov chains, complementing the line of results that proves the acceleration of their limit behavior. We show that this tool leads to speedups on random walk algorithms in a very natural way. Specifically we consider random walk algorithms for testing the graph expansion and clusterability, and show that we can quadratically improve the dependency of the classical property testers on the random walk runtime. Moreover, our quantum algorithm exponentially improves the space complexity of the classical tester to logarithmic. As a subroutine of independent interest, we use QFF for determining whether a given pair of nodes lies in the same cluster or in separate clusters. This solves a robust version of $s$-$t$ connectivity, relevant in a learning context for classifying objects among a set of examples. The different algorithms crucially rely on the quantum speedup of the transient behavior of random walks.

研究动机与目标

• 开发一种新的量子算法工具，加速可逆马尔可夫链的瞬态行为，超越仅关注极限行为的现有方法。
• 通过量子行走动力学，实现基于经典随机行走的图性质测试算法的量子加速，尤其在扩张性和聚类性测试方面。
• 通过确定两个节点是否属于同一簇，提供对 $ s $-$ t $ 连通性问题的鲁棒量子解法，即使在噪声或近似条件下也能适用。
• 通过利用量子行走动力学，将经典性质测试器的空间复杂度从多项式降低到对数级别。

提出的方法

• 量子快速前向传播（QFF）使用与可逆马尔可夫链的判别矩阵 $ D = \sqrt{P \circ P^T} $ 相关的量子行走算符，其中 $ P $ 为转移矩阵。
• 该方法将酉矩阵的线性组合（LCU）技术应用于量子行走哈密顿量，以模拟 $ D^t $ 的谱动力学。
• 采用 $ D $ 的特征值函数的截断切比雪夫展开，以受控误差近似 $ D^t \ket{v} $。
• 该算法使用 $ O(\|D^t\ket{v}\|^{-1} \sqrt{t \log(\epsilon \|D^t\ket{v}\|)^{-1}}) $ 的期望量子行走步数，准备出与 $ \ket{D^t v} = D^t \ket{v} / \|D^t \ket{v}\| $ $ \epsilon $-接近的量子态。
• 该方案需要 $ O(\|D^t\ket{v}\|^{-1}) $ 的期望对初始态 $ \ket{v} $ 的反射，保持局部性与高效性。
• 通过从随机行走分布构建相似性图，并在量子草图上通过暴力搜索检查连通分量，将该方法应用于图性质测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用量子行走加速可逆马尔可夫链的瞬态动力学，而不仅仅是其极限行为？
• RQ2 QFF 能否在图性质测试中，对经典随机行走算法的运行时间依赖 $ t $ 实现二次加速？
• RQ3 QFF 能否将经典图性质测试器的空间复杂度从输入大小的多项式降低到对数级别？
• RQ4 QFF 能否用于解决 $ s $-$ t $ 连通性的鲁棒版本，即在行走分布近似相似时仍能判断节点是否属于同一簇？
• RQ5 能否通过利用马尔可夫链动力学的完整谱，实现图聚类与稀疏化问题的量子加速？

主要发现

• QFF 在 $ t $ 的时间依赖上实现了二次加速，准备出与 $ \ket{D^t v} $ $ \epsilon $-接近的近似态，所需期望量子行走步数为 $ O(\|D^t\ket{v}\|^{-1} \sqrt{t \log(\epsilon \|D^t\ket{v}\|)^{-1}}) $。
• 该算法仅需 $ O(\|D^t\ket{v}\|^{-1}) $ 的期望对 $ \ket{v} $ 的反射，资源开销极低。
• 在图扩张性和聚类性测试中，QFF 将量子行走步数从 $ \widetilde{O}(N^{1/2}k^7\Phi_{\mathrm{in}}^{-2}\epsilon^{-5}) $ 降低至 $ \widetilde{O}(N^{1/2}k^7\Phi_{\mathrm{in}}^{-1}\epsilon^{-4}) $，显著改善了对 $ \Phi_{\mathrm{in}} $ 的依赖。
• 该量子算法将经典测试器的空间复杂度从多项式指数级降低到对数级别，具有极高的空间效率。
• QFF 实现了鲁棒的 $ s $-$ t $ 连通性测试，即使在行走分布近似相似时，也能判断两个节点是否属于同一簇。
• 通过在 $ \mathbb{Z} $ 上随机行走的下界论证，证明该方法在 $ t $ 和 $ \epsilon $ 依赖上达到最优。