[论文解读] Quantum Fidelities, Their Duals, And Convex Analysis

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过凸优化方法，引入并分析了三种量子保真度——Uhlmann保真度、基于f-散度（f(x) = -√x）的保真度，以及通过逆向检测获得的新保真度。定义了它们的对偶形式（极形式），证明了在保身份完全正映射下保真度的单调性，并通过经典到量子及量子到经典映射建立了凹性与对偶性。对于qubit情形，给出了显式公式，表明保真度与可观测量重叠成反比关系。

ABSTRACT

We study tree kinds of quantum fidelity. Usual Uhlmann's fidelity, minus of f-divergence when $f(x)=-\sqrt{x}$, and the one introduced by the author via reverse test. All of them are quantum extensions of classical fidelity, where the first one is the largest and the third one is the smallest. We characterize them in terms of convex optimization, and introduce their 'dual' quantity, or the polar of the minus of the fidelity. They turned out to be monotone increasing by unital completely positive maps, concave, and linked to its classical version via optimization about classical-to-quantum maps and quantum-to-classical maps.

研究动机与目标

• 通过凸分析表征三种量子保真度——Uhlmann的、基于f-散度的、以及基于逆向检测的。
• 定义并分析这些保真度的对偶形式（极形式）。
• 在保身份完全正映射下建立保真度的单调性与凹性。
• 通过在经典到量子及量子到经典映射上进行优化，建立量子保真度与经典保真度的联系。
• 推导出在特定迹和范数约束下，qubit情形下最大与最小保真度的显式公式，表明其与可观测量重叠成反比。

提出的方法

• 使用凸优化表征三种保真度及其对偶形式。
• 将负保真度的对偶定义为保真度的极形式，证明其在保身份CP映射下单调递增。
• 应用保身份完全正映射，通过测量与制备映射将量子保真度与经典保真度关联。
• 利用迹与谱性质，推导出qubit情形下最大与最小保真度的显式表达式。
• 应用压紧操作与广义逆，处理非可逆算子。
• 利用POVM与CPTP映射的结构，表达量子到经典及经典到量子的变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 三种量子保真度——Uhlmann的、基于f-散度的、以及基于逆向检测的——彼此之间以及与经典保真度之间有何关系？
• RQ2 负保真度的对偶（极形式）是什么？它在保身份完全正映射下的行为如何？
• RQ3 通过在量子到经典及经典到量子映射上进行优化，量子保真度如何与经典保真度关联？
• RQ4 在特定迹与范数约束下，qubit态的最大与最小保真度的显式形式是什么？
• RQ5 在何种条件下，可保证在两对qubit算子之间存在CP保身份映射？

主要发现

• 当 $ \mathrm{tr}\,L_0^2 = \mathrm{tr}\,L_1^2 = \mathrm{tr}\,(L_0')^2 = \mathrm{tr}\,(L_1')^2 $ 且 $ \|L_0 - L_1\| $ 固定时，最大保真度 $ F_{\text{max}}(L_0, L_1) $ 与最小保真度 $ F_{\text{min}}(L_0, L_1) $ 均为 $ \mathrm{tr}\,L_0L_1 $ 的递减函数。
• 对于满足 $ L_0 = I_2 + a\sigma_x + b\sigma_z $，$ L_1 = I_2 + a\sigma_x - b\sigma_z $ 的qubit态，当 $ r^2 \geq |a| $ 时，最小保真度为 $ \hat{F}_{\min}(L_0, L_1) = 2\sqrt{(1 - r^2)(1 - a^2/r^2)} $，否则为 $ 2(1 - |a|) $。
• 最大保真度 $ \hat{F}_{\max}(L_0, L_1) $ 有闭式表达式，涉及 $ L_0 $ 与 $ L_1 $ 的迹与行列式，具体为 $ \frac{2(1 - r^2)^2}{\mathrm{tr}\,L_0L_1 + \sqrt{(\mathrm{tr}\,L_0L_1)^2 - 4(1 - r^2)^2}} $。
• 对偶保真度 $ \hat{F}_{\max} $ 与 $ \hat{F}_{\min} $ 在保身份完全正映射下单调递增，而原始保真度则单调递减。
• 当 $ \mathrm{rank}(L_0) = 1 $ 或 $ \mathrm{rank}(L_1) = 1 $ 时，仅当目标对也至少包含一个秩-1算子时，才存在从两对算子之间的CP保身份映射。
• 对于迹范数相等的qubit系统，当且仅当 $ \mathrm{tr}\,L_0L_1 = \mathrm{tr}\,L_0'L_1' $ 时，$ (L_0, L_1) $ 与 $ (L_0', L_1') $ 之间存在CP保身份映射，这意味着单位酉等价。