[论文解读] Quantum Field Theory, Feynman and Wheeler Propagators and Dimensional Regularization in Configuration Space

A. Plastino, M. C. Rocca|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2017

Mathematical and Theoretical Analysis被引用 1

一句话总结

本文通过在具有零因子的环 ${\cal S}^{'}_{LA}$ 中引入基于卷积的乘积（通过洛伦兹不变分布的逆傅里叶变换构造），将维数正则化推广至闵可夫斯基空间中所有洛伦兹不变的缓增分布。该方法实现了对无质量费曼传播子与惠勒传播子卷积的一致计算，将先前结果扩展至非欧几里得、相对论性量子场论的背景。

ABSTRACT

The Dimensional Regularization of Bollini and Giambiags (Phys. Lett. {\bf B 40}, 566 (1972), Il Nuovo Cim. {\bf B 12}, 20 (1972). Phys. Rev. {\bf D 53}, 5761 (1996)) can not be defined for all Schwartz Tempered Distributions Explicitly Lorentz Invariant (STDELI) ${\cal S}^{'}_L$. In this paper we overcome here such limitation and show that it can be generalized to all aforementioned STDELI and obtain a product in a ring with zero divisors. For this purpose, we resort to a formula obtained in [Int. J. of Theor. Phys. {\bf 43}, 1019 (2004)] and demonstrate the existence of the convolution (in Minkowskian space) of such distributions. This is done by following a procedure similar to that used so as to define a general convolution between the Ultradistributions of J. Sebastiao e Silva [Math. Ann. {\bf 136}, 38 (1958)], also known as Ultrahyperfunctions, obtained by Bollini et al. [Int. J. of Theor. Phys. {\bf 38}, 2315 (1999), {\bf 43}, 1019 (2004), {\bf 43}, 59 (2004),{\bf 46}, 3030 (2007)]. Using the Inverse Fourier Transform we get the ring with zero divisors ${\cal S}^{'}_{LA}$, defined as ${\cal S}^{'}_{LA}={\cal F}^{-1}\{{\cal S}^{'}_L\}$, where ${\cal F}^{-1}$ denotes the Inverse Fourier Transform. In this manner we effect a dimensional regularization in momentum space (the ring ${\cal S}^{'}_{L}$) via convolution, and a product of distributions in the corresponding configuration space (the ring ${\cal S}^{'}_{LA})$. This generalizes the results obtained by Bollini and Giambiagi for Euclidean space in [Phys. Rev. {\bf D 53}, 5761 (1996)]. We provide several examples of the application of our new results in Quantum Field Theory. In particular, the convolution of $n$ massless Feynman propagators and the convolution of n massless Wheeler propagators in Minkowskian space.

研究动机与目标

• 为克服博利尼与詹比亚吉的维数正则化方法无法适用于所有显式洛伦兹不变缓增分布（STDELI）的局限性。
• 在闵可夫斯基空间中为STDELI定义一致的卷积运算，使量子场论振幅的正则化可超越欧几里得域。
• 通过洛伦兹不变分布的逆傅里叶变换构造一个含零因子的环 ${\cal S}^{'}_{LA}$，实现在配置空间中分布的乘积。
• 将先前在欧几里得空间中关于维数正则化的成果推广至闵可夫斯基时空，特别是针对无质量传播子的情形。

提出的方法

• 利用 [Int. J. Theor. Phys. 43, 1019 (2004)] 中推导的卷积公式，在闵可夫斯基空间中定义STDELI的卷积。
• 应用由博利尼等人形式化的超双函数（J. Sebastiao e Silva 的超分布）技术，处理奇异分布。
• 定义环 ${\cal S}^{'}_{LA} = {\cal F}^{-1}\{{\cal S}^{'}_L\}$，其中 ${\cal S}^{'}_L$ 为STDELI的空间，实现在配置空间中分布的乘积。
• 在动量空间中执行维数正则化（通过 ${\cal S}^{'}_L$），并通过逆傅里叶变换将结果映射至配置空间。
• 建立一个允许零因子存在的框架，同时保持代数结构，容纳奇异量子场论分布。
• 将该方法应用于计算闵可夫斯基时空中 $n$ 个无质量费曼与惠勒传播子的卷积。

实验结果

研究问题

• RQ1 维数正则化能否被推广至闵可夫斯基空间中所有显式洛伦兹不变缓增分布，超越先前公式的适用范围？
• RQ2 对于无法通过标准博利尼-詹比亚吉方法正则化的分布，如何定义一致的卷积？
• RQ3 在配置空间中，何种乘积空间结构可实现涉及无质量传播子的量子场论振幅的正则化？
• RQ4 如何利用逆傅里叶变换将正则化从动量空间映射至配置空间，同时保持洛伦兹不变性？
• RQ5 该框架能否统一处理费曼与惠勒传播子，特别是在无质量情形下？

主要发现

• 本文通过类比超双函数的方法，确立了在闵可夫斯基空间中STDELI卷积的存在性。
• 通过洛伦兹不变分布的逆傅里叶变换，构造了一个新的含零因子的环 ${\cal S}^{'}_{LA}$，实现在配置空间中分布的乘积。
• 该方法将博利尼与詹比亚吉的维数正则化从欧几里得空间推广至闵可夫斯基时空，覆盖所有STDELI。
• 在闵可夫斯基空间中，$n$ 个无质量费曼传播子的卷积在新框架内被严格定义且可计算。
• 在闵可夫斯基空间中，$n$ 个无质量惠勒传播子的卷积也得到了一致定义，将维数正则化的适用范围扩展至更高级的传播子类型。
• 该框架为涉及奇异、无质量传播子的真实时空量子场论振幅，提供了一致且洛伦兹不变的正则化程序。