[论文解读] Quantum field theory without divergence: the method of the interaction operators

Bruno Galvan|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过使用对称相互作用算符来定义不同区域间的粒子相互作用，从而构建紫外有限的量子场论，避免了标准方法中常见的发散问题。通过将诸如 $ \|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}\Delta\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}$ 这类奇异算符对称化，该方法确保了相互作用算符与自由哈密顿量共享一个共同的稠密定义域，从而实现数学上一致的、自伴的总哈密顿量，且无紫外发散。

ABSTRACT

The recently proposed interior boundary conditions approach [S. Teufel and R. Tumulka: Avoiding Ultraviolet Divergence by Means of Interior Boundary Conditions, arXiv:1506.00497] is a method for defining Hamiltonians without UV divergence for quantum field theories. In this approach the interactions between sectors of the Fock space with different number of particles (inter-sector interactions) are obtained by extending the domain of the free Hamiltonian to include functions with singularities. In this paper a similar but alternative strategy is proposed, in which the inter-sector interactions are implemented by specific interaction operators. In its simplest form, an interaction operator is obtained by symmetrizing the asymmetric operator $\|\hat{ extbf{x}} \|^{-1} Δ\|\hat { extbf{x}}\|^{-1}$. The inter-sector interactions derive from the singularities generated by the factors $\|\hat{ extbf{x}}\|^{-1}$ enclosing the Laplacian, while the domain of the interaction operator does not include singular functions. As a consequence the interaction operators and the free Hamiltonian have a common dense domain, and they can be added together to form the complete Hamiltonian with interaction.

研究动机与目标

• 开发一种数学上一致的、替代内部边界条件（IBC）方法的方案，用于构建紫外有限的量子场论。
• 解决由于创建算符不平衡和奇异相互作用引起的量子场论中的紫外发散问题。
• 通过不需在定义域中引入奇异函数的对称相互作用算符来定义不同粒子数的 Fock 空间区域之间的相互作用。
• 确保相互作用算符与自由哈密顿量共享一个共同的稠密定义域，从而使其和能构成一个明确定义的总哈密顿量。
• 为基于算符对称化和区域间耦合的新形式体系奠定基础，以构建物理上相关且无发散的量子场论。

提出的方法

• 核心方法是将形如 $\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}\Delta\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}$ 的非对称算符对称化，从而构造出一个定义域中不含奇异函数的对称相互作用算符。
• 相互作用算符被定义在一组在原点外光滑且具有紧致支撑的波函数的稠密定义域上，从而避免了定义域中的奇点。
• 通过这些对称相互作用算符实现不同粒子数的 Fock 空间区域之间的跃迁，这些算符被构造为保持自伴性。
• 该方法使用径向投影算符 $R$ 来分离 s 波分量，将拉普拉斯算符简化为径向二阶导数 $\partial_r^2/r^2$，从而捕捉奇异行为。
• 对称化过程通过换向子 $\langle \phi | \stackrel{\leftrightarrow}{\Lambda} | \psi \rangle$ 引入区域间的边界条件，该换向子编码了不同区域之间的跃迁振幅。
• 对于多体系统，该方法通过定义描述粒子发射/吸收的算符 $B_{hk}$ 和描述粒子对产生/湮灭的算符 $C_{hk}$ 进行推广，其中包含对称化的拉普拉斯项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖内部边界条件（IBC）方法的前提下，构建一个紫外有限的量子场论，同时保持自伴性和幺正性？
• RQ2 如何通过不引入定义域中奇异函数的对称算符来定义不同粒子数的 Fock 空间区域之间的相互作用？
• RQ3 对诸如 $\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}\Delta\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}$ 这类看似奇异的算符进行对称化，是否能产生一个明确定义的、自伴的哈密顿量，并与自由哈密顿量共享一个共同的稠密定义域？
• RQ4 此类相互作用算符生成的区域间跃迁振幅具有何种结构？它们与发射/吸收和粒子对产生等物理过程有何关联？
• RQ5 所提出的方法在数学上是否一致，并且在现实量子场论中是否具有潜在的物理相关性？

主要发现

• 相互作用算符 $\Lambda = \|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}\Delta\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}$ 在其自然定义域上并非对称，但其对称化版本 $\langle \phi | \stackrel{\leftrightarrow}{\Lambda} | \psi \rangle$ 会产生非零的区域间跃迁振幅。
• 对称化换向子 $\langle \phi | \stackrel{\leftrightarrow}{\Lambda} | \psi \rangle$ 产生一个与 $\phi'_{00}(0)\psi_{00}(0) - \phi_{00}(0)\psi'_{00}(0)$ 成比例的边界项，该边界项编码了区域间的耦合。
• 对于包含费米子、反费米子和玻色子三种粒子类型的系统，该方法定义了描述玻色子发射/吸收以及电子-正电子对产生/湮灭的相互作用算符。
• 对产生过程的区域间跃迁振幅由对称化拉普拉斯项 $\langle \phi_h | \stackrel{\leftrightarrow}{\Delta} | \psi_k \rangle_x(y)$ 导出，其结果为 $4\pi \frac{\phi^*(y,\mathbf{y}_k)\psi(y,\mathbf{y}_k) - \phi^*(y,\mathbf{y}_h)\psi(y,\mathbf{y}_h)}{\|\mathbf{y}_h - \mathbf{y}_k\|}$。
• 由于反对称性，总区域间换向子 $\langle \phi | \stackrel{\leftrightarrow}{V_{hk}^1} | \psi \rangle$ 恒为零，从而确保了多体推广的一致性。
• 该方法确保了相互作用算符与自由哈密顿量共享一个共同的稠密定义域，使得它们的和能够定义一个无紫外发散的自伴总哈密顿量。