[论文解读] Quantum Fields on Causal Sets

Steven Johnston|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 78被引用 7

一句话总结

本文通过构建标量场费曼传播子的因果集类比，提出了一种因果集上的离散量子场论，采用路径积分模型并为因果链分配振幅。该方法在1+1维和3+1维闵氏时空下与连续的克莱因-戈尔登传播子一致，建立了离散因果集动力学与连续量子场论之间的自洽性。

ABSTRACT

Causal set theory provides a model of discrete spacetime in which spacetime events are represented by elements of a causal set---a locally finite, partially ordered set in which the partial order represents the causal relationships between events. The work presented here describes a model for matter on a causal set, specifically a theory of quantum scalar fields on a causal set spacetime background. The work starts with a discrete path integral model for particles on a causal set. Here quantum mechanical amplitudes are assigned to trajectories within the causal set. By summing these over all trajectories between two spacetime events we obtain a causal set particle propagator. With a suitable choice of amplitudes this is shown to agree (in an appropriate sense) with the retarded propagator for the Klein-Gordon equation in Minkowski spacetime. This causal set propagator is then used to define a causal set analogue of the Pauli-Jordan function that appears in continuum quantum field theories. A quantum scalar field is then modelled by an algebra of operators which satisfy three simple conditions (including a bosonic commutation rule). Defining time-ordering through a linear extension of the causal set these field operators are used to define a causal set Feynman propagator. Evidence is presented which shows agreement (in a suitable sense) between the causal set Feynman propagator and the continuum Feynman propagator for the Klein-Gordon equation in Minkowski spacetime. The Feynman propagator is obtained using the eigendecomposition of the Pauli-Jordan function, a method which can also be applied in continuum-based theories. The free field theory is extended to include interacting scalar fields. This leads to a suggestion for a non-perturbative S-matrix on a causal set. Models for continuum-based phenomenology and spin-half particles on a causal set are also presented.

研究动机与目标

• 开发一种在因果集时空背景上保持因果结构和离散时空对称性的量子标量场一致模型。
• 通过构建费曼传播子的因果集类比，弥合离散因果集理论与连续量子场论之间的鸿沟。
• 将该框架扩展至相互作用场，并在因果集中提出非微扰S矩阵的表述形式。
• 通过本征分解和路径积分方法，在闵氏时空下建立离散传播子与连续传播子之间的定量一致性。

提出的方法

• 为因果集中的因果链（轨迹）分配量子力学振幅，形成离散路径积分模型。
• 通过在两个事件之间对所有因果链求和来定义因果集粒子传播子，其中振幅的选择使得在闵氏时空下重现推迟传播子。
• 通过离散达朗贝尔算子的本征分解，构建保罗-约当函数的因果集类比。
• 通过因果集偏序的线性扩展，定义满足玻色统计对易关系和时间有序性的场算符。
• 利用保罗-约当函数的本征分解，推导因果集费曼传播子，其方法与连续情形类似。
• 通过微扰杜森级数将自由理论扩展至相互作用标量场，并通过U算符提出非微扰S矩阵算符。

实验结果

研究问题

• RQ1 在因果集上构建的离散路径积分模型能否重现闵氏时空下克莱因-戈尔登方程的推迟传播子？
• RQ2 如何利用离散算子在因果集中一致地定义保罗-约当函数和费曼传播子？
• RQ3 因果集费曼传播子在1+1维和3+1维下与连续费曼传播子的收敛程度如何？
• RQ4 能否使用算子理论方法在因果集中提出非微扰S矩阵？
• RQ5 在无限密度极限下，因果集达朗贝尔算子与连续达朗贝尔算子之间存在何种关系？

主要发现

• 通过为适当振幅的因果链求和得到的因果集粒子传播子，在1+1维和3+1维闵氏时空下重现了克莱因-戈尔登方程的推迟传播子。
• 在1+1维中，因果集费曼传播子满足方程 $\left(\Box + 2\rho(1 + \rho \frac{\partial}{\partial \rho}) \right)P_n = 2\rho P_{n-1}$，并与连续极限一致。
• 在3+1维中，达朗贝尔算子作用于推迟传播子的结果为 $\Box^2 P = 8\pi \delta - 8\pi \rho \frac{1}{6}(2H+1)(2H+2)(2H+3)P$，与贝尼卡萨和道克尔的工作一致。
• 路径期望数的生成函数 $P_T(z)$ 满足一个包含 $\rho$、$z$ 和达朗贝尔算子的偏微分方程，为路径统计的计算提供了途径。
• 在无限密度极限（$\rho \to \infty$）下，因果集费曼传播子收敛于连续费曼传播子，如 $\lim_{\rho \to \infty} \Box K_R = \delta$ 所示。
• 本工作与贝尼卡萨和道克尔（2010）的工作之间发现了一个出人意料的一致性：$\Box^2 K_R = \bar{B}$，其中 $\bar{B}$ 是因果集达朗贝尔核，证实了二者在连续极限下的相互兼容性。