[论文解读] Quantum Filter Diagonalization: Quantum Eigendecomposition without Full Quantum Phase Estimation

Robert M. Parrish, Peter L. McMahon|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 68

一句话总结

QFD 通过随时间传播的猜测态和经典 Rayleigh-Ritz 步骤实现量子本征分解，使用一个单辅助量子比特的扩展交换测试来评估子空间哈密顿量和度量矩阵，从而避免全相位估计。

ABSTRACT

We develop a quantum filter diagonalization method (QFD) that lies somewhere between the variational quantum eigensolver (VQE) and the phase estimation algorithm (PEA) in terms of required quantum circuit resources and conceptual simplicity. QFD uses a set of of time-propagated guess states as a variational basis for approximate diagonalization of a sparse Pauli Hamiltonian. The variational coefficients of the basis functions are determined by the Rayleigh-Ritz procedure by classically solving a generalized eigenvalue problem in the space of time-propagated guess states. The matrix elements of the subspace Hamiltonian and subspace metric matrix are each determined in quantum circuits by a one-ancilla extended swap test, i.e., statistical convergence of a one-ancilla PEA circuit. These matrix elements can be determined by many parallel quantum circuit evaluations, and the final Ritz estimates for the eigenvectors can conceptually be prepared as a linear combination over separate quantum state preparation circuits. The QFD method naturally provides for the computation of ground-state, excited-state, and transition expectation values. We numerically demonstrate the potential of the method by classical simulations of the QFD algorithm for an N=8 octamer of BChl-a chromophores represented by an 8-qubit ab initio exciton model (AIEM) Hamiltonian. Using only a handful of time-displacement points and a coarse, variational Trotter expansion of the time propagation operators, the QFD method recovers an accurate prediction of the absorption spectrum.

研究动机与目标

• 为在稀疏 Pauli 形式的哈密顿量上实现高效的量子本征分解提供动机。
• 介绍在 VQE 与 PEA 之间的混合方法，该方法使用随时间传播的基态。
• 描述如何通过量子电路计算子空间哈密顿量和度量矩阵。
• 展示经典 Rayleigh-Ritz 步骤如何给出近似的本征值和本征向量。
• 证明在基态、激发态以及跃迁性质评估方面的潜力。

提出的方法

• 将变分设定定义为由 e^{-i2πkH/κ} 生成的随时间传播的参考态的线性组合。
• 建立涉及子空间哈密顿量和度量矩阵的广义特征问题。
• 通过在量子电路上实现的单辅助比特扩展交换测试来计算矩阵元素。
• 求解由此得到的经典广义特征问题，以获得 Ritz 本征值的估计和混合系数。
• 在后处理和扩展交换测试矩阵元素的基础上可选地评估跃迁性质。
• 允许在多个量子电路上并行评估子空间矩阵的矩阵元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 时间网格基变分基组是否能在不进行完整量子相位估计的情况下恢复低位本征对？
• RQ2 单一辅助交换测试在多大程度上可以准确估计子空间哈密顿量和度量矩阵？
• RQ3 Ritz 本征值是否能为稀疏 Pauli 哈密顿量提供准确的基态和激发态能量及跃迁性质？
• RQ4 在 NISQ 设备上，QFD 的实际资源与电路深度有哪些影响？
• RQ5 从概念和计算角度看，QFD 与 VQE 和 PEA 的需求和产出有何比较？

主要发现

• QFD 提供来自量子获得子空间的经典对角化的 Ritz 本征值估计。
• 子空间所需的矩阵元素可以通过在量子电路上实现的单辅助扩展交换测试来计算。
• 该方法支持基态、激发态和跃迁期望值的计算。
• 在 N=8 AIEM 哈密顿量上的数值演示表明，使用少量的时间位移点和粗糙的 Trotter 展开即可实现准确的吸收光谱预测。
• 该方法允许对子空间矩阵进行并行量子电路评估，并将随时间传播的态线性组合成近似本征向量。