[论文解读] Quantum Fisher kernel for mitigating the vanishing similarity issue

Yudai Suzuki, Hideaki Kawaguchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出量子费舍尔核（QFK），一种新颖的量子核方法，通过在交替层电路（ALA）中利用反对称对数导数（ALD），缓解了保真度基量子核在量子比特数量增加时出现的相似性消失问题。ALDQFK在保持与保真度基核相当的表达能力的同时，避免了核值的指数衰减，从而在机器学习中实现实际的量子优势。

ABSTRACT

Quantum kernel method is a machine learning model exploiting quantum computers to calculate the quantum kernels (QKs) that measure the similarity between data. Despite the potential quantum advantage of the method, the commonly used fidelity-based QK suffers from a detrimental issue, which we call the vanishing similarity issue; detecting the difference between data becomes hard with the increase of the number of qubits, due to the exponential decrease of the expectation and the variance of the QK. This implies the need to design QKs alternative to the fidelity-based one. In this work, we propose a new class of QKs called the quantum Fisher kernels (QFKs) that take into account the geometric structure of the data source. We analytically and numerically demonstrate that the QFK based on the anti-symmetric logarithmic derivatives (ALDQFK) can avoid the issue when the alternating layered ansatzs (ALAs) are used, while the fidelity-based QK cannot even with the ALAs. Moreover, the Fourier analysis numerically elucidates that the ALDQFK can have expressivity comparable to that of the fidelity-based QK. These results indicate that the QFK paves the way for practical applications of quantum machine learning with possible quantum advantages.

研究动机与目标

• 解决保真度基量子核中的相似性消失问题，即核值随量子比特数量增加而指数衰减，从而削弱量子优势。
• 开发一种结合数据源几何结构的量子核设计，以提升稳定性和泛化能力。
• 提出量子费舍尔核（QFK）作为经典费舍尔核的量子扩展，将数据结构嵌入核计算中。
• 证明采用交替层电路（ALA）的ALDQFK可避免保真度基核失效的相似性消失问题。
• 通过傅里叶分析与分类基准测试，确立ALDQFK在表达能力上与保真度基核相当。

提出的方法

• 将量子费舍尔核（QFK）引入为经典费舍尔核的量子扩展，利用量子费舍尔信息矩阵编码数据结构。
• 通过密度矩阵 ρx,θ 的反对称对数导数（ALD）定义ALDQFK，表达式为 Tr[ρx,θ B ρx',θ B]，其中 B = ∂ρx,θ/∂θ。
• 利用交替层电路（ALA）实现ALDQFK，用于参数化量子线路，确保对核值消失问题的结构鲁棒性。
• 应用傅里叶分析将核分解为频率分量，实现ALDQFK与保真度基QK之间表达能力的比较。
• 使用支持向量机（SVC）与合成的一维数据集评估分类性能，验证核的表达能力。
• 将傅里叶频率集截断为 {−12,…,12}，并使用曲线拟合算法将QK拟合至其傅里叶表示，以实现定量比较。

Figure 1: Summary of this work. (a) The vanishing similarity issue for the fidelity-based QK, where the expectation and the variance of the QK decrease exponentially as the number of qubits is increased. Hence, estimating each entry of the Gram matrix on a real quantum device requires an exponential

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种结合数据源几何结构的量子核方法，以避免高维希尔伯特空间中的相似性消失问题？
• RQ2 ALDQFK在ALA结构下是否在避免指数衰减的同时，仍保持与保真度基量子核相当的表达能力？
• RQ3 ALDQFK的傅里叶谱在频率成分与振幅方面，与保真度基QK相比如何？
• RQ4 ALDQFK能否在需要非平凡频率分量的合成数据集上实现低误分类率？
• RQ5 ALDQFK结构与已知的量子动力学量（如洛施密特回声或时间有序相关函数）之间存在何种关系？

主要发现

• 采用ALA的ALDQFK避免了相似性消失问题，其核值的期望与方差不随量子比特数量增加而指数衰减，而保真度基QK则存在此问题。
• ALDQFK的傅里叶系数在振幅与频率上几乎与保真度基QK完全一致，表明其具有相当的表达能力。
• 在基于正弦的合成数据集上的分类任务表明，ALDQFK实现了低误分类率，且性能与傅里叶系数 cω,−ω 的振幅密切相关。
• 对于频率 w=12 的数据集，ALDQFK保持了非零的 cω,−ω 分量，而保真度基QK由于核值消失，其振幅接近零。
• ALDQFK结构 Tr[ρx,θ B ρx',θ B] 与洛施midt回声及时间有序相关函数等量子动力学量同构，暗示其与量子混沌及信息 scrambling 存在更深层联系。
• ALDQFK通过保持稳定的核值与泛化性能，使大规模量子系统中实现实际量子优势成为可能。

Figure 2: The expectation and the variance of the QK in Eq. ( 1 ), where each element of input data $\bm{x}$ and parameters in PQC $\bm{\theta}$ is randomly chosen from the range $[-\pi,\pi)$ . The tensor-product and the IQP-type quantum circuits with depth $L=2$ are used as $U(\bm{x},\bm{\theta})$