[论文解读] Quantum function computation using sublogarithmic space (abstract & poster)

A. C. Cem Say, Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 6

一句话总结

该论文表明，量子有限状态移位器（QFSTs）可在亚对数空间内以有界误差计算函数 f1(x) = w（当 x = wcw 时，w ∈ {a,b}*），否则为未定义，从而实现亚对数空间内的计算。其关键贡献在于通过单向量子有限自动机中的基于干涉的状态演化，证明了量子图灵机（QTMs）在低于 O(log n) 空间的函数计算中严格强于概率图灵机（PTMs）。

ABSTRACT

We prove that quantum Turing machines are strictly superior to probabilistic Turing machines in function computation for any space bound $ o(\log(n)) $.

研究动机与目标

• 研究具有亚对数工作空间的量子图灵机（QTMs）在函数计算中的计算能力。
• 从空间效率角度比较量子图灵机（QTMs）与概率图灵机（PTMs）在计算部分函数时的表现。
• 证明量子有限状态移位器（QFSTs）可仅用常数空间以有界误差识别非正则语言。
• 在亚对数空间范围内建立量子计算与经典计算在函数计算中的严格分离。
• 提出一种新颖的量子算法，利用量子干涉在常数空间内以有界误差计算一个非平凡函数。

提出的方法

• QFST 从三个计算路径的叠加态开始，每条路径的振幅为 1/√3。
• 路径 3 立即拒绝，而路径 1 和路径 2 处理输入字符串，以提取中心 'c' 符号前后的前缀。
• 若输入不符合 w1cw2 的形式，路径 1 和路径 2 均以高概率拒绝。
• 对于有效输入 w1cw2，路径 1 和路径 2 分别对其状态应用量子傅里叶变换（QFT），生成叠加态：|q, Accept, w1⟩/√2 ± |q, Reject, w2⟩/√2。
• 路径 1（正相位）与路径 2（负相位）之间的干涉导致在 w1 = w2 时产生相长干涉，使接受概率达到 2/3。
• 最终测量结果根据寄存器状态决定接受或拒绝，并将输出字符串写入 1.5 模式只写磁带。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子有限状态移位器能否在亚对数空间内计算经典概率机器无法计算的函数？
• RQ2 是否存在一种函数，可在常数空间内由 QFST 计算，但无法由任何使用 o(log n) 空间的 PTM 计算？
• RQ3 单向量子有限自动机能否以有界误差识别非正则语言？
• RQ4 量子干涉是否能在空间受限的函数计算中为量子计算提供相对于经典概率计算的严格优势？
• RQ5 经典机器能否在 o(log n) 空间内以有界误差识别语言 {wcw | w ∈ {a,b}*}？

主要发现

• 量子有限状态移位器（QFST）以常数空间、有界误差计算函数 f1(x) = w（当 x = wcw 时，w ∈ {a,b}*），否则为未定义。
• QFST 对正确函数输出的成功概率至少为 2/3，对未定义输入的拒绝概率也较高。
• 任何经典概率图灵机（PTM）都无法使用 o(log n) 空间以有界误差计算 f1，因为这将意味着在 o(log n) 空间内识别非正则语言 {wcw | w ∈ {a,b}*}。
• QFST 是首个具有单向输入头的量子有限状态机，可在有界误差下识别非正则语言。
• 由于量子干涉与叠加，量子图灵机（QTMs）在所有空间界限 s = o(log n）下严格优于概率图灵机（PTMs）用于函数计算。
• 该结果在亚对数空间范围内为函数计算建立了量子与经典计算之间的可证明分离。