[论文解读] Quantum Gates and Clifford Algebras

Alexander Yu. Vlasov|ArXiv.org|Jul 26, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文利用复 Clifford 代数 Cl(2n,C) 建立了一个数学框架，用于表示量子信息科学中的量子门和线性变换。它证明了 Cl(2n,C) 能够为所有 2^n × 2^n 的酉矩阵提供通用的矩阵表示，从而通过基本生成元的张量积实现对量子线路的紧凑建模，该方法在量子线路仿真和量子比特系统的理论分析中具有应用价值。

ABSTRACT

Clifford algebras are used for definition of spinors. Because of using spin-1/2 systems as an adequate model of quantum bit, a relation of the algebras with quantum information science has physical reasons. But there are simple mathematical properties of the algebras those also justifies such applications. First, any complex Clifford algebra with 2n generators, Cl(2n,C), has representation as algebra of all 2^n x 2^n complex matrices and so includes unitary matrix of any quantum n-gate. An arbitrary element of whole algebra corresponds to general form of linear complex transformation. The last property is also useful because linear operators are not necessary should be unitary if they used for description of restriction of some unitary operator to subspace. The second advantage is simple algebraic structure of Cl(2n) that can be expressed via tenzor product of standard "building units" and similar with behavior of composite quantum systems. The compact notation with 2n generators also can be used in software for modeling of simple quantum circuits by modern conventional computers.

研究动机与目标

• 利用 Clifford 代数为量子门建立严格的数学基础。
• 证明复 Clifford 代数 Cl(2n,C) 可表示所有 2^n × 2^n 的酉矩阵，从而实现量子门的通用建模。
• 表明 Cl(2n,C) 的代数结构与复合量子系统的张量积结构相一致。
• 提供一种适合在经典计算机上实现量子线路仿真软件的紧凑代数记法。
• 通过物理相关性与数学简洁性，证明在量子信息科学中使用 Clifford 代数的合理性。

提出的方法

• 利用 Cl(2n,C) 与所有 2^n × 2^n 复矩阵代数之间的同构关系。
• 将 Cl(2n,C) 的张量积分解为对应于单量子比特操作的“构建单元”。
• 将任意量子 n-门表示为 Clifford 代数 Cl(2n,C) 中的元素。
• 将代数结构应用于子空间上线性变换的建模，即使在非酉情况下亦适用。
• 利用 2n 生成元形式，实现在软件中对量子线路的高效编码与操作。
• 利用 Cl(2n,C) 的代数性质，简化对复合量子系统的描述。

实验结果

研究问题

• RQ1 Clifford 代数能否为量子信息理论中的量子门提供一个通用的代数框架？
• RQ2 Cl(2n,C) 的结构如何与多量子比特量子系统的张量积结构相关联？
• RQ3 Clifford 代数形式在经典计算机上仿真量子线路方面具有哪些优势？
• RQ4 Cl(2n,C) 中线性算子的代数表示在多于酉变换的范围内有何扩展？
• RQ5 2n 生成元形式如何被用于高效地建模与分析量子线路？

主要发现

• Cl(2n,C) 同构于所有 2^n × 2^n 复矩阵的代数，从而能够表示任意量子 n-门。
• 代数 Cl(2n,C) 自然地包含了酉和非酉的线性变换，适用于受限算子分析。
• Cl(2n,C) 的张量积结构与复合量子系统的结构一致，为多量子比特系统提供了自然的形式化表达。
• 2n 生成元形式使得在软件仿真中能够对量子线路进行紧凑且高效的表示。
• Cl(2n,C) 的数学简洁性与普遍性，使其在量子信息科学中的应用不仅具有物理依据，也具备数学合理性。
• 该代数框架支持对子空间上线性算子的建模，而无需要求酉性，从而扩大了其适用范围。