[论文解读] Quantum Generalized Linear Models

Colleen Farrelly, Srikanth Namuduri+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Statistical Methods and Bayesian Inference参考文献 25被引用 1

一句话总结

本文提出量子广义线性模型（QGLM），一种利用非高斯量子门持续变形结果分布以消除传统连接函数需求的量子计算增强方法。该方法在高度过度分散的Tweedie回归数据集（UCI森林野火数据集）上实现了最先进性能，平均平方误差较现有算法提升约10%。

ABSTRACT

Generalized linear models (GLM) are link function based statistical models. Many supervised learning algorithms are extensions of GLMs and have link functions built into the algorithm to model different outcome distributions. There are two major drawbacks when using this approach in applications using real world datasets. One is that none of the link functions available in the popular packages is a good fit for the data. Second, it is computationally inefficient and impractical to test all the possible distributions to find the optimum one. In addition, many GLMs and their machine learning extensions struggle on problems of overdispersion in Tweedie distributions. In this paper we propose a quantum extension to GLM that overcomes these drawbacks. A quantum gate with non-Gaussian transformation can be used to continuously deform the outcome distribution from known results. In doing so, we eliminate the need for a link function. Further, by using an algorithm that superposes all possible distributions to collapse to fit a dataset, we optimize the model in a computationally efficient way. We provide an initial proof-of-concept by testing this approach on both a simulation of overdispersed data and then on a benchmark dataset, which is quite overdispersed, and achieved state of the art results. This is a game changer in several applied fields, such as part failure modeling, medical research, actuarial science, finance and many other fields where Tweedie regression and overdispersion are ubiquitous.

研究动机与目标

• 解决传统广义线性模型（GLM）及其机器学习扩展在处理过度分散和零膨胀数据时的局限性。
• 克服在GLM模型选择中测试所有可能分布的计算低效性问题。
• 通过量子门实现结果分布的连续变形，消除对预定义连接函数的依赖。
• 证明在真实世界复杂数据集上，量子增强统计建模的可行性和优越性。
• 为将量子计算与广义线性模型及相关统计框架整合奠定基础。

提出的方法

• 采用Xanadu的Strawberry Fields和qumode量子计算框架，模拟用于GLM参数估计的量子电路。
• 通过系数矩阵β = O₁ΣO₂的奇异值分解（SVD），将GLM参数映射为量子门操作。
• 应用一系列量子门：线性干涉仪（U₁, U₂）、压缩门（S）和非高斯门（Φ），以建模逆连接函数。
• 将GLM预测表示为|g⁻¹(Xβ)⟩ ≈ Φ·U₂·S·U₁|X⟩，将模型嵌入连续量子态空间。
• 采用学习率为0.1的梯度下降法，迭代80次，并将qumode截断维数设为10，以优化模型。
• 在相同数据集上对每个算法运行10次，通过平均化概率性量子噪声提升结果可靠性。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子计算能否通过实现分布的连续变形，消除广义线性模型中对固定连接函数的依赖？
• RQ2 与经典最先进算法相比，量子增强的GLM在过度分散和零膨胀数据集上的表现如何？
• RQ3 量子电路能否在无需穷举搜索的情况下，高效优化所有可能分布的模型参数？
• RQ4 尽管存在固有的量子噪声和概率测量，该量子GLM框架是否仍保持鲁棒性和准确性？
• RQ5 该方法能否扩展至其他统计模型，如广义估计方程和混合模型？

主要发现

• 在UCI森林野火数据集上，QGLM的归一化模型均方误差（MSE）为0.106，优于次优算法DGLARS的0.114，提升约10%。
• 在模拟的过度分散数据集上，QGLM的归一化MSE为0.82，与最先进的算法（如提升回归和DGLARS）相当。
• 尽管存在量子噪声，该模型表现出良好鲁棒性，通过10次运行的平均有效缓解了概率波动。
• 通过使用非高斯量子门直接建模逆连接函数，该方法成功消除了对预定义连接函数的依赖。
• 该方法利用指数族分布的几何结构，并将其映射为量子门操作，实现了高效的分布优化。
• 结果表明，QGLM在层次模型、混合模型以及动态系统中的同伦延续方法中具有强大的扩展潜力。