[论文解读] Quantum geometry of moduli spaces of local systems and representation theory

A. B. Goncharov, Linhui Shen|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 36

一句话总结

本文在装饰曲面上的 G-局部系统模空间上构建了 cluster Poisson 与 K2 结构，证明了它们的等变量子化，并推导出表示论与对偶性方面的应用。

ABSTRACT

Let G be a split semi-simple adjoint group, and S a colored decorated surface, given by an oriented surface with punctures, special boundary points, and a specified collection of boundary intervals. We introduce a moduli space P(G,S) parametrizing G-local system on S with some boundary data, and prove that it carries a cluster Poisson structure, equivariant under the action of the cluster modular group M(G,S), containing the mapping class group of S, the group of outer automorphisms of G, and the product of Weyl / braid groups over punctures / boundary components. We prove that the dual moduli space A(G,S) carries a M(G,S)-equivariant cluster structure, and the pair (A(G,S), P(G,S)) is a cluster ensemble. These results generalize the works of V. Fock & the first author, and of I. Le. We quantize cluster Poisson varieties X for any Planck constant h s.t. h>0 or |h|=1. First, we define a *-algebra structure on the Langlands modular double A(h; X) of the algebra of functions on X. We construct a principal series of representations of the *-algebra A(h; X), equivariant under a unitary projective representation of the cluster modular group M(X). This extends works of V. Fock and the first author when h>0. Combining this, we get a M(G,S)-equivariant quantization of the moduli space P(G,S), given by the *-algebra A(h; P(G,S)) and its principal series representations. We construct realizations of the principal series *-representations. In particular, when S is punctured disc with two special points, we get a principal series *-representations of the Langlands modular double of the quantum group Uq(g). We conjecture that there is a nondegenerate pairing between the local system of coinvariants of oscillatory representations of the W-algebra and the one provided by the projective representation of the mapping class group of S.

研究动机与目标

• 通过将 G-局部系统的模空间与 cluster 结构以及高 Teichmüller 理论联系起来来激发研究动机。
• 将 PG,S 和 AG′,S 定义并研究为 cluster Poisson 与 cluster K2-结构。
• 发展对 PG,S 的 ΓG,S-等变量子化，并将其与 Langlands 对偶性联系起来。
• 展示在 Donaldson–Thomas 变换、对偶性猜想，以及函数代数中的规范基等方面的应用。
• （如有更多条目，请确保翻译一致性）

提出的方法

• 引入并为模空间 PG,S 配备一个规范的 ΓG,S-等变 cluster Poisson 结构。
• 证明对偶模空间 AG′,S 具有 ΓG,S-等变 cluster K2-结构，形成与 PG,S 的 cluster ensemble。
• 对 PG,S 进行量子化，以获得对 ΓG,S-等变的 ∗-表示 Langlands modular double Aℏ(PG,S) 及其 principal series 表示。
• 证明 DT 转换是 cluster 转换，并利用 cluster 结构明确计算它们。
• 将该框架应用于恢复量子群的 principal series 表示，并在 O(PG,S) 构造规范线性基。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于分裂半单伴随 G，PG,S 及其对偶 AG′,S 存在哪些 cluster 结构？
• RQ2 ΓG,S 对称性如何作用于这些 cluster 结构及其量子化？
• RQ3 是否可以对 PG,S 进行量子化，以获得对应 Langlands 对偶数据的 ΓG,S-等变 ∗-表示？
• RQ4 这些结构对 DT 转换、对偶性猜想，以及 O(PG,S) 的规范基有哪些影响？
• RQ5 这些构造如何与高 Teichmüller 理论、共形块和量子群表示相连接？

主要发现

• PG,S 拥有一个规范的 ΓG,S-等变 cluster Poisson 结构。
• AG′,S 拥有 ΓG,S-等变 cluster K2-structure，形成与 PG,S 的 cluster ensemble。
• Aℏ(PG,S) 通过 principal series ∗-representation 提供 ΓG,S-等变量子化。
• PG,S 的 Donaldson–Thomas 变换是一个 cluster Poisson 变换，并被明确计算。
• 在 O(PG,S) 构造了一个规范线性基，由 AG∨,S 的 tropical 点参数化，并在此框架中确立了对偶性猜想。
• 应用包括量子群的 principal series 表示，以及与 Langlands 对偶性和模态函子的联系。