[论文解读] Quantum gravity at the corner

Laurent Freidel, Alejandro Pérez|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文在时空角上建立了量子引力的一般边界辛结构，表明二维边界上诱导的三重场自然地导致 SL(2,ℝ)×SU(2) 规范对称性。作者利用复结构和穿刺点构建了边界几何的量子理论，揭示了孤立视界模型中所缺失的新退化自由度，对黑洞熵及幺正蒸发具有重要意义。

ABSTRACT

We investigate the quantum geometry of $2d$ surface $S$ bounding the Cauchy slices of 4d gravitational system. We investigate in detail and for the first time the symplectic current that naturally arises boundary term in the first order formulation of general relativity in terms of the Ashtekar-Barbero connection. This current is proportional to the simplest quadratic form constructed out of the triad field, pulled back on $S$. We show that the would-be-gauge degrees of freedom---arising from $SU(2)$ gauge transformations plus diffeomorphisms tangent to the boundary, are entirely described by the boundary $2$-dimensional symplectic form and give rise to a representation at each point of $S$ of $SL(2,\mathbb{R}) imes SU(2)$. Independently of the connection with gravity, this system is very simple and rich at the quantum level with possible connections with conformal field theory in 2d. A direct application of the quantum theory is modelling of the black horizons in quantum gravity.

研究动机与目标

• 确定并严格推导出自洽引力第一优形式在二维时空角上产生的边界辛结构。
• 表明本应为规范自由度的——源于 SU(2) 规范变换和切于边界的空间微分同胚——完全由一个二维辛形式描述。
• 通过复结构实现边界几何的正则量子化，得到比孤立视界模型更丰富的希尔伯特空间。
• 阐明此一般边界理论与孤立视界模型中使用的陈-西蒙斯描述之间的关系，特别是关于退化几何的部分。
• 通过识别与边界微分同胚相关的新的量子自由度，探讨其对黑洞熵及幺正黑洞蒸发的影响。

提出的方法

• 从引力的第一优作用量推导边界辛流，表明其与三重场平方的拉回成正比：$\Theta = \frac{1}{2\gamma}\int_{\partial\Sigma} \delta e^i \wedge \delta e_i$。
• 将边界动力学识别为一个 2+1 维系统，其中自旋连接作为微分同胚的拉格朗日乘子。
• 在二维边界上引入复结构，以定义与穿刺点相关的谐振子，从而实现三重场自由度的量子化。
• 将理论的希尔伯特空间构作为空间穿刺点上的福克空间，允许非退化和退化（零面积）态。
• 通过半经典期望值（弱约束）和算符方程（强约束）实现约束，以恢复标准孤立视界结果。
• 利用相干态以及 $U(1) \subset SL(2,\mathbb{R})$ 与 $U(1) \subset SU(2)$ 之间的相互作用，几何地固定法向方向，并关联内部旋转与空间旋转。

实验结果

研究问题

• RQ1 在第一优引力中，边界辛结构的一般形式是什么，且独立于黑洞或孤立视界假设？
• RQ2 源于规范对称性和微分同胚对称性的边界自由度如何被一个二维辛形式完全描述？
• RQ3 能否在不施加孤立视界模型中对称性约化的情况下，为边界几何构建一个一致的量子理论？
• RQ4 退化几何（零面积穿刺）在量子边界理论中扮演什么角色，与标准孤立视界态有何不同？
• RQ5 如何在量子层面一致地实现微分同胚对称性，其对黑洞熵和幺正性有何影响？

主要发现

• 边界辛结构 $\Theta = \frac{1}{2\gamma}\int_{\partial\Sigma} \delta e^i \wedge \delta e_i$ 自然地从引力的第一优形式中导出，且独立于黑洞或视界条件。
• 边界自由度完全由 $SL(2,\mathbb{R}) \times SU(2)$ 的表示描述，其中三重场生成 $SL(2,\mathbb{R})$ 代数，而自旋连接强制实现微分同胚约束。
• 不受限制的量子希尔伯特空间包含零面积穿刺的态，以量子数 $|j, j, k\rangle$ 标记，这些态在标准孤立视界模型中不存在。
• 通过强算符条件或半经典极限下的弱约束 $g_3 - \Sigma_3 = 0$（等价于 $k=0$）可恢复标准孤立视界结果。
• 在每个穿刺点，$k=0$ 且 $m=j$ 的态子空间为一维，对应于内部旋转与空间旋转对齐，提供了几何上自然的规范固定。
• 非退化零面积自由度的存在表明存在一个信息库，可能支持幺正黑洞蒸发，为量子引力中此类情景提供了具体实现。