[论文解读] Quantum Group of Orientation preserving Riemannian Isometries

Jyotishman Bhowmick, Debashish Goswami|ArXiv.org|Jun 23, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新的紧致谱三元组的保定向黎曼等距量子群的表述，直接使用狄拉克算子，而无需依赖于‘良好’的拉普拉斯算子。它证明了存在一个普遍的紧致量子群，作用于旋量的希尔伯特空间上，与狄拉克算子可交换，并保持一个扭曲迹，且通过显式计算表明，$U_\mu(2)$ 和 $SO_\mu(3)$ 分别是变形后的 $SU_\mu(2)$ 和 $S^2_{\mu c}$ 的量子等距群。

ABSTRACT

We formulate a quantum group analogue of the group of orinetation-preserving Riemannian isometries of a compact Riemannian spin manifold, more generally, of a (possibly $R$-twisted in the sense of a paper of one of the authors, and of compact type) spectral triple. The main advantage of this formulation, which is directly in terms of the Dirac operator, is that it does not need the existence of any `good ' Laplacian as in our previous works on quantum isometry groups. Several interesting examples, including those coming from Rieffel-type deformation as well as the equivariant spectral triples on $SU_μ(2)$ and $S^2_{μ0}$ are dicussed.

研究动机与目标

• 为克服先前工作中在非交换几何中定义量子等距群时对‘良好’拉普拉斯算子的依赖限制。
• 直接基于狄拉克算子和扭曲迹，形式化保定向黎曼等距的量子群。
• 建立一个普遍的紧致量子群的存在性，该群在旋量的希尔伯特空间上作用单位酉，与狄拉克算子可交换，并保持一个给定的忠实泛函。
• 将框架扩展至包含里夫埃尔型变形流形（如 $SU_\mu(2)$ 和 $S^2_{\mu c}$），在这些情形下基于拉普拉斯算子的方法失效。
• 证明非交换环面 $\mathcal{A}_\theta$ 上标准谱三元组的量子等距群为 $C(\mathbb{T}^2)\ast C(\mathbb{T})$，其中经典群 $C(\mathbb{T}^2)$ 为其约化版本。

提出的方法

• 通过旋量希尔伯特空间上的单位酉共表示定义一个量子家族的光滑保定向黎曼等距的范畴，这些共表示与狄拉克算子可交换。
• 引入一种使用正可逆算子 $R$ 定义非迹泛函 $\tau_R$ 的扭曲谱三元组框架，该泛函由量子群作用保持。
• 在保持固定忠实泛函 $\tau_R$ 的量子群子范畴中构造一个普遍对象，通过范畴的普遍性质确保其存在性。
• 利用沃罗诺维奇-索坦框架在普遍对象上定义一个 $C^*$-代数量子群结构，配备一个典范的共乘法。
• 将理论应用于里夫埃尔型变形，通过矩阵 $J$ 变形 $C^*$-代数和谱三元组，并利用变形函子计算量子等距群。
• 利用狄拉克算子在作用下的不变性以及扭曲迹的相容性，证明 $\widetilde{QISO}^+_R(\mathcal{A}_\theta^\infty, \mathcal{H}, D) \cong C(\mathbb{T}^2)\ast C(\mathbb{T})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非交换几何中，是否可以不依赖于‘良好’拉普拉斯算子的存在性，来定义保定向黎曼等距的量子群？
• RQ2 是否存在一个普遍的紧致量子群，其在旋量的希尔伯特空间上作用单位酉，与狄拉克算子可交换，并保持一个给定的扭曲迹？
• RQ3 非交换环面 $\mathcal{A}_\theta$ 上里夫埃尔型变形谱三元组的量子等距群是什么？
• RQ4 在拉普拉斯算子方法不适用的 $SU_\mu(2)$ 和 $S^2_{\mu c}$ 上的等变谱三元组中，其量子等距群是什么？
• RQ5 量子等距群在里夫埃尔型变形下的行为如何？是否存在经典与变形量子等距群之间的函子关系？

主要发现

• 非交换环面 $\mathcal{A}_\theta$ 上标准谱三元组的量子等距群为 $\widetilde{QISO}^+_R(\mathcal{A}_\theta^\infty, \mathcal{H}, D) \cong C(\mathbb{T}^2)\ast C(\mathbb{T})$，其约化版本为 $QISO^+(\mathcal{A}_\theta^\infty) = C(\mathbb{T}^2)$。
• 在 $SU_\mu(2)$ 上的等变谱三元组中，量子等距群为 $U_\mu(2)$，其作为保持扭曲迹的普遍对象被实现。
• 在变形球面 $S^2_{\mu c}$ 上的谱三元组中，量子等距群为 $SO_\mu(3)$，与早期工作的结果一致。
• 量子等距群构造与里夫埃尔变形相容：$\widetilde{QISO}^+_R(\mathcal{A}_J^\infty, \mathcal{H}, D) \cong (\widetilde{QISO}^+_R(\mathcal{A}^\infty, \mathcal{H}, D))_{\widetilde{J}}$，其中 $J$ 为变形参数，表明其函子性。
• 即使在完整范畴中缺乏普遍对象，保持固定忠实泛函 $\tau_R$ 的子范畴中普遍对象的存在性仍可保证。
• 基于狄拉克算子的表述成功地处理了此前基于拉普拉斯算子方法难以处理的 $SU_\mu(2)$ 和 $S^2_{\mu c}$ 上的谱三元组。