[论文解读] Quantum groups acting on n points, complex Hadamard matrices, and a construction of subfactors

Teodor Banica|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 1998

Advanced Operator Algebra Research被引用 7

一句话总结

本文通过在有限维 $C^*$-代数和 $II_1$ 因子 $P$ 上作用于 Kac 型的紧致量子群 $G$，构建了形如 $(B_0\bigotimes P)^G \subset (B_1\bigotimes P)^G$ 的子因子。在适当条件下，该构造利用 Wassermann 的技术可计算出子因子的 Jones 指数和标准不变量，统一了来自群子群、群的投影表示、有限量子群、离散群以及统计模型的已知子因子。

ABSTRACT

We construct inclusions of the form $(B_0\otimes P)^G\subset (B_1\otimes P)^G$, where $G$ is a compact quantum group of Kac type acting on an inclusion of finite dimensional $\c^*$-algebras $B_0\subset B_1$ and on a $II_1$ factor $P$. Under suitable assumptions on the actions of $G$, this is a subfactor, whose Jones to er and standard invariant can be computed by using techniques of A. Wassermann. The subfactors associated to subgroups of compact groups, to projective representations of compact groups, to finite quantum groups, to finitely generated discrete groups, to vertex models and to spin models are of this form.

研究动机与目标

• 将来自群论、量子群和统计模型的各类子因子统一于单一代数框架之下。
• 通过将 Kac 型紧致量子群作用于 $C^*$-代数和 $II_1$ 因子，扩展子因子理论。
• 提供一种通用的子因子构造方法，其 Jones 指数与标准不变量可显式计算。
• 证明已知的子因子实例（如来自有限量子群和自旋模型的子因子）可纳入此统一的量子群作用框架。

提出的方法

• 该构造使用了在 Kac 型紧致量子群 $G$ 作用下的固定点代数 $(B_0\otimes P)^G$ 和 $(B_1\otimes P)^G$。
• 假设 $G$ 的作用保持包含关系 $B_0\subset B_1$，并以相容方式作用于 $II_1$ 因子 $P$。
• 应用 A. Wassermann 在算子代数与量子群表示方面的技术，计算所得子因子的 Jones 指数与标准不变量。
• 该方法依赖于 Kac 型紧致量子群的对偶性与表示理论，以确保子因子结构良好。
• 该构造被证明适用于多种已知的子因子族，包括来自有限量子群和顶点/自旋模型的子因子。
• 使用 $C^*$-代数与 $II_1$ 因子可确保所得对象为具有有限 Jones 指数的良好定义的冯诺依曼代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在 $C^*$-代数与 $II_1$ 因子上的量子群对称性，系统地构造出来自有限量子群的子因子？
• RQ2 Kac 型紧致量子群在 $C^*$-代数与 $II_1$ 因子上的作用，如何产生具有已知标准不变量的可计算子因子？
• RQ3 已知的子因子构造（如来自群的投影表示或自旋模型）在多大程度上可纳入基于量子群作用的统一框架？
• RQ4 对 $G$ 的作用需满足何种条件，才能保证 $(B_0\otimes P)^G\subset (B_1\otimes P)^G$ 构成具有有限 Jones 指数的子因子？
• RQ5 Wassermann 的技术能否被调整以计算此类量子群诱导子因子的标准不变量？

主要发现

• 在 Kac 型紧致量子群 $G$ 的作用满足适当条件时，该构造可产生子因子 $(B_0\otimes P)^G\subset (B_1\otimes P)^G$。
• 所得子因子的 Jones 指数与标准不变量可通过 A. Wassermann 开发的技术进行计算。
• 来自紧致群子群、紧致群的投影表示、有限量子群以及离散群的子因子，均为该构造的特例。
• 该框架将顶点模型与自旋模型中的子因子统一于同一量子群对称机制之下。
• 使用 $C^*$-代数与 $II_1$ 因子可确保所得代数为具有良好性质的冯诺依曼代数，且具有有限指标。
• 该构造表明，量子群对称性为生成与分类一大类子因子提供了一个通用机制。