[论文解读] Quantum Groups and Quantum Cohomology

Davesh Maulik, Andreĭ Okounkov|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2012

Algebraic structures and combinatorial models被引用 188

一句话总结

本文引入了 Yangian $Σ_Q$ 作为作用于任意 quiver $Q$ 的 Nakajima quiver 变体的等变上同调上的 Hopf 代数，建立了一个几何 $R$-矩阵形式，将量子上同调与三角函数 Casimir 连接联系起来。关键结果是：量子上同调中的除子算子对应于 Yangian 的 Baxter 子代数中的元素；对于 $\mathbb{C}^2$ 上层丛模空间，量子环由这些算子生成，实现在上同调上的 W-代数作用，并证实了 Alday、Gaiotto 和 Tachikawa 的猜想。

ABSTRACT

In this paper, we study the classical and quantum equivariant cohomology of Nakajima quiver varieties for a general quiver Q. Using a geometric R-matrix formalism, we construct a Hopf algebra Y_Q, the Yangian of Q, acting on the cohomology of these varieties, and show several results about their basic structure theory. We prove a formula for quantum multiplication by divisors in terms of this Yangian action. The quantum connection can be identified with the trigonometric Casimir connection for Y_Q; equivalently, the divisor operators correspond to certain elements of Baxter subalgebras of Y_Q. A key role is played by geometric shift operators which can be identified with the quantum KZ difference connection. In the second part, we give an extended example of the general theory for moduli spaces of sheaves on C^2, framed at infinity. Here, the Yangian action is analyzed explicitly in terms of a free field realization; the corresponding R-matrix is closely related to the reflection operator in Liouville field theory. We show that divisor operators generate the quantum ring, which is identified with the full Baxter subalgebras. As a corollary of our construction, we obtain an action of the W-algebra W(gl(r)) on the equivariant cohomology of rank $r$ moduli spaces, which implies certain conjectures of Alday, Gaiotto, and Tachikawa.

研究动机与目标

• 通过几何 $R$-矩阵形式，为 Nakajima quiver 变体的等变量子上同调发展一个通用的结构理论。
• 通过 Hopf 代数形式构造 Yangian $\mathsf{Y}_Q$，使其作用于这些变体的上同调。
• 将量子上同调中除子的乘法识别为 $\mathsf{Y}_Q$ 的 Baxter 子代数中的元素，将其与三角函数 Casimir 连接联系起来。
• 通过自由场实现，显式实现 $\mathbb{C}^2$ 上层丛模空间的 Yangian 作用，并建立 W-代数作用。
• 通过证明量子环由除子算子生成且同构于完整的 Baxter 子代数，证实 Alday、Gaiotto 和 Tachikawa 的猜想。

提出的方法

• 通过 Nakajima quiver 变体上的几何 $R$-矩阵形式，构造 $\mathsf{Y}_Q$ 为 Hopf 代数。
• 使用稳定包络和环面固定点局部化，定义并刻画 $R$-矩阵及其 braid 关系。
• 将除子的量子乘法识别为 $\mathsf{Y}_Q$ 的 Baxter 子代数中的算子，表明其对应于三角函数 Casimir 连接。
• 利用几何平移算子（与量子 KZ 差分连接相关），将量子上同调与可积系统联系起来。
• 通过 Fock 空间中的自由场表示，显式实现 $\mathcal{M}(r,n)$ 上的 Yangian 作用，其中 $R$-矩阵与 Liouville 理论的反射算子相关。
• 证明完整的量子上同调环由除子算子生成，且 $\mathcal{W}(\mathfrak{gl}(r))$ 的作用通过 Fock 模上的 Yangian 作用的完成实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Hopf 代数作用来结构化 Nakajima quiver 变体的量子上同调？
• RQ2 在将量子乘法与可积系统联系起来时，$R$-矩阵在几何和代数上扮演何种精确角色？
• RQ3 量子上同调中的除子算子如何对应于 Yangian 的 Baxter 子代数中的元素？
• RQ4 如何显式实现 $\mathbb{C}^2$ 上层丛模空间上的 Yangian 作用？
• RQ5 $\mathcal{M}(r,n)$ 的量子环是否由除子算子生成？这是否意味着在上同调上存在 $\mathcal{W}(\mathfrak{gl}(r))$-作用？

主要发现

• Yangian $\mathsf{Y}_Q$ 作用于 Nakajima quiver 变体的等变上同调，为量子上同调结构提供了几何实现。
• 除子的量子乘法被实现为 $\mathsf{Y}_Q$ 的 Baxter 子代数中的算子，且量子联络被识别为三角函数 Casimir 联络。
• 对于 $\mathcal{M}(r,n)$，量子上同调环由除子算子生成，且该环同构于 $\mathsf{Y}_Q$ 的完整 Baxter 子代数。
• $\mathcal{W}(\mathfrak{gl}(r))$ 在 $H^\bullet_{\mathsf{G}}(\mathcal{M}(r,n))$ 上的作用通过 Fock 空间上 Yangian 作用的完成实现，证实了 AGT 猜想。
• $R$-矩阵被识别为 Virasoro 互反算子，并与 Liouville 场论中的反射算子匹配，建立了量子上同调与二维共形场论之间的深刻联系。
• 理论中的平移算子被识别为量子 KZ 差分连接，其互反性质通过 $R$-矩阵形式得到证明。