[论文解读] Quantum Hamiltonian Descent

Jiaqi Leng, Ethan Hickman+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出量子哈密顿下降（QHD），一种源自经典梯度下降动力学路径积分形式的新型量子优化算法。通过利用非经典轨迹的量子隧穿效应，QHD在D-Wave量子处理器上实现时，在75维以内的非凸二次规划问题上，其解的质量和求解时间均优于经典求解器与量子绝热算法，展现出显著的量子优势。

ABSTRACT

Gradient descent is a fundamental algorithm in both theory and practice for continuous optimization. Identifying its quantum counterpart would be appealing to both theoretical and practical quantum applications. A conventional approach to quantum speedups in optimization relies on the quantum acceleration of intermediate steps of classical algorithms, while keeping the overall algorithmic trajectory and solution quality unchanged. We propose Quantum Hamiltonian Descent (QHD), which is derived from the path integral of dynamical systems referring to the continuous-time limit of classical gradient descent algorithms, as a truly quantum counterpart of classical gradient methods where the contribution from classically-prohibited trajectories can significantly boost QHD's performance for non-convex optimization. Moreover, QHD is described as a Hamiltonian evolution efficiently simulatable on both digital and analog quantum computers. By embedding the dynamics of QHD into the evolution of the so-called Quantum Ising Machine (including D-Wave and others), we empirically observe that the D-Wave-implemented QHD outperforms a selection of state-of-the-art gradient-based classical solvers and the standard quantum adiabatic algorithm, based on the time-to-solution metric, on non-convex constrained quadratic programming instances up to 75 dimensions. Finally, we propose a "three-phase picture" to explain the behavior of QHD, especially its difference from the quantum adiabatic algorithm.

研究动机与目标

• 开发一种真正意义上的经典梯度下降量子对应算法，利用量子隧穿效应逃逸虚假局部极小值点。
• 识别一种量子算法，通过改变算法轨迹而非仅加速子程序，实现解质量超越经典方法。
• 设计一种可在数字与模拟量子计算机上高效模拟的量子优化框架。
• 在约束性非凸二次规划问题上，通过实证验证QHD相较于最先进经典与量子求解器的性能表现。
• 提供一个理论与操作框架，通过一种‘三阶段图像’解释QHD的行为，该图像与量子绝热算法有本质区别。

提出的方法

• QHD通过Bregman-Lagrangian动力系统路径积分量化推导得出，代表经典梯度下降的连续时间极限。
• 该算法被表述为由薛定谔方程控制的哈密顿演化，使其可在数字与模拟量子计算机上高效模拟。
• 动力学被嵌入到量子伊辛机（如D-Wave）中，实现真实硬件上的实证评估。
• 数字实现采用乘积公式方法，空间离散化由量子位精度（q=3,16,32）控制。
• 使用量子子程序如浮点加法器、乘法器与近似QFT，T-门数量用于容错成本分析。
• 算法采用包含相位估计算法与哈密顿算符受控操作的迭代演化步骤，D-Wave实验中时间演化参数T≈681。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种量子算法，通过引入经典禁止路径，从根本上改变梯度下降的轨迹？
• RQ2 在量子优化中引入非经典轨迹是否能提升解的质量并加快非凸问题的收敛速度？
• RQ3 在约束性二次规划问题上，QHD与经典基于梯度的求解器及标准量子绝热算法相比，求解时间表现如何？
• RQ4 在近场数字量子计算机上实现QHD的资源成本是多少？是否适用于现实世界问题？
• RQ5 QHD与量子绝热算法之间的性能差异由何解释？三阶段模型能否解释该行为？

主要发现

• 基于求解时间指标，QHD在75维以内的非凸约束二次规划实例上，优于一系列最先进经典基于梯度的求解器与标准量子绝热算法。
• 在D-Wave上实现的QHD在解质量与收敛速度上优于经典求解器，尤其在高非凸性与稀疏性问题上表现更优。
• QHD的数字实现即使在低精度（3量子位分辨率）下，也需超过5×10⁸个T-门，超出近场数字量子硬件的能力范围。
• T-门数量随问题维度与稀疏性显著增长，75维问题在32量子位精度下估计达2.67×10¹⁰。
• 所提出的‘三阶段图像’解释了QHD行为与绝热算法的本质差异，凸显其利用量子隧穿与非经典路径贡献的能力。
• QHD的性能优势源于其能够访问经典禁止路径，从而实现对经典梯度下降易陷入的局部极小值的逃逸。