[论文解读] Quantum Hamiltonian reduction of W-algebras and category O

Stephen P. Morgan|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文通过分阶段的量子哈密顿约化，将类型 A 李代数中相邻幂零轨道相关的 W 代数联系起来。它在这些 W 代数之间构造双模，并建立其范畴 O 块之间的等价关系，推广了 BGG 意义下的转移函子，为量子群 $U(\frak{sl}_2)$ 的范畴化提供了框架。

ABSTRACT

W-algebras are a class of non-commutative algebras related to the classical universal enveloping algebras. They can be defined as a subquotient of U(g) related to a choice of nilpotent element e and compatible nilpotent subalgebra m. The definition is a quantum analogue of the classical construction of Hamiltonian reduction. We define a quantum version of Hamiltonian reduction by stages and use it to construct intermediate reductions between different W-algebras U(g,e) in type A.This allows us to express the W-algebra U(g,e') as a subquotient of U(g,e) for nilpotent elements e' covering e. It also produces a collection of (U(g,e),U(g,e'))-bimodules analogous to the generalised Gel'fand-Graev modules used in the classical definition of the W-algebra; these can be used to obtain adjoint functors between the corresponding module categories. The category of modules over a W-algebra has a full subcategory defined in a parallel fashion to that of the Bernstein-Gel'fand-Gel'fand (BGG) category O; this version of category O(e) for W-algebras is equivalent to an infinitesimal block of O by an argument of Miličić and Soergel. We therefore construct analogues of the translation functors between the different blocks of O, in this case being functors between the categories O(e) for different W-algebras U(g,e). This follows an argument of Losev, and realises the category O(e') as equivalent to a full subcategory of the category O(e) where e' is greater than e in the refinement ordering.

研究动机与目标

• 为类型 A 中的 W 代数开发一种分阶段的量子哈密顿约化，以在关联于相邻幂零轨道的 W 代数之间实现中间约化。
• 构造类似于广义 Gelfand–Graev 模的 $(U(\frak{g},e), U(\frak{g},e'))$-双模，以在 W 代数的模范畴之间诱导伴随函子。
• 建立不同 W 代数 $U(\frak{g},e)$ 的范畴 O 的全子范畴之间的等价关系，推广 BGG 意义下的转移函子。
• 在细化序 $e' \geq e$ 下，将范畴 $\epsilon(e')$ 实现为 $\epsilon(e)$ 的全子范畴，扩展 Losev 的框架。
• 通过 W 代数的范畴 O 提供一条新的路径，实现 $U(\frak{sl}_2)$ 的范畴化，受 Bernstein–Frenkel–Khovanov 启发。

提出的方法

• 利用分阶段的量子哈密顿约化，通过一系列半直积结构 $\mathfrak{m}_2 = \mathfrak{m}_1 \rtimes \mathfrak{k}$ 分解约化过程。
• 应用 Losev 的形变量子化与量子代数完成的工具，通过 Fedosov 星积将 $U(\frak{g},e_1)^\heartsuit$ 与 $U(\frak{g},e_2) \otimes \mathbf{A}_V^\heartsuit$ 联系起来。
• 利用等变辛同胚 $\psi: T_xX_1 \to T_xX_2 \oplus V^*$ 和 Luna 切片定理，构造完成代数的 $\widetilde{G}$-等变同构。
• 通过 $G$-不变部分与 $\mathbb{C}^\times$-有限部分，构造映射 $\Phi: U(\frak{g},e_1)^\heartsuit \to (U(\frak{g},e_2) \otimes \mathbf{A}_V)^\heartsuit$。
• 利用 Skryabin 同构，将 W 代数的范畴 $\mathcal{O}(e)$ 与 BGG 范畴 $\mathcal{O}$ 的无穷小块联系起来。
• 建立范畴等价 $K: \mathsf{Whit}^\mathfrak{t}_\mathfrak{m}(U(\frak{g},e_1)) \to \mathcal{O}^\mathfrak{t}(e_2, \mathfrak{p}_2)$，将 Whittaker 模与范畴 O 块联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将量子哈密顿约化扩展为一种‘分阶段’程序，以关联相邻幂零轨道的 W 代数？
• RQ2 此类约化会产生何种双模？它们如何在 W 代数的模范畴之间诱导伴随函子？
• RQ3 W 代数的范畴 $\mathcal{O}$ 是否可类似 BGG 范畴 $\mathcal{O}$ 的结构组织？不同 $e$ 的块之间存在何种等价关系？
• RQ4 细化序 $e' \geq e$ 如何与 W 代数范畴 $\mathcal{O}$ 中的子范畴包含关系相关联？
• RQ5 该框架能否支持 $U(\frak{sl}_2)$ 的范畴化，正如 Bernstein、Frenkel 和 Khovanov 所设想的那样？

主要发现

• 本文构造了一种分阶段的量子哈密顿约化，实现了当相邻幂零元满足 $e' \geq e$ 时，$U(\frak{g},e')$ 作为 $U(\frak{g},e)$ 的子商代数。
• 它建立了类似于广义 Gelfand–Graev 模的 $(U(\frak{g},e), U(\frak{g},e'))$-双模结构，使得在 W 代数的模范畴之间能够诱导伴随函子。
• 通过 Skryabin 同构，W 代数的范畴 $\mathcal{O}(e)$ 等价于 BGG 范畴 $\mathcal{O}$ 的一个无穷小块。
• 当 $e' \geq e$ 时，范畴 $\mathcal{O}(e')$ 被实现为 $\mathcal{O}(e)$ 的全子范畴，推广了转移函子。
• 通过完成与 $\widetilde{G}$-等变同构的完成代数，建立了范畴等价 $K: \mathsf{Whit}^\mathfrak{t}_\mathfrak{m}(U(\frak{g},e_1)) \to \mathcal{O}^\mathfrak{t}(e_2, \mathfrak{p}_2)$。
• 该构造为 $U(\frak{sl}_2)$ 的范畴化提供了新路径，遵循 Bernstein、Frenkel 和 Khovanov 的框架。