[论文解读] Quantum harmonic oscillators and Feynman-Kac path integrals for linear diffusive particles

Pierre Del Moral, Emma Horton|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2021

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一句话总结

本文提出了一类具有线性扩散粒子和二次势能的多维量子谐振子的显式解析解，利用连续时间代数 Riccati 方程计算基态和零点能。通过时变线性系统与 Riccati 方程，推导出精确的费曼-卡茨路径积分解，建立了 Wasserstein 距离与相对熵距离的非渐近指数衰减估计，并在可逆情形下给出了完整的谱表征，包括激发态与函数不等式。

ABSTRACT

We propose a new solvable class of multidimensional quantum harmonic oscillators for a linear diffusive particle and a quadratic energy absorbing well associated with a semi-definite positive matrix force. Under natural and easily checked controllability conditions, the ground state and the zero-point energy are explicitly computed in terms of a positive fixed point of a continuous time algebraic Riccati matrix equation. We also present an explicit solution of normalized and time dependent Feynman-Kac measures in terms of a time varying linear dynamical system coupled with a differential Riccati matrix equation. A refined non asymptotic analysis of the stability of these models is developed based on a recently developed Floquet-type representation of time varying exponential semigroups of Riccati matrices. We provide explicit and non asymptotic estimates of the exponential decays to equilibrium of Feynman-Kac semigroups in terms of Wasserstein distances or Boltzmann-relative entropy. For reversible models we develop a series of functional inequalities including de Bruijn identity, Fisher's information decays, log-Sobolev inequalities, and entropy contraction estimates. In this context, we also provide a complete and explicit description of all the spectrum and the excited states of the Hamiltonian, yielding what seems to be the first result of this type for this class of models. We illustrate these formulae with the traditional harmonic oscillator associated with real time Brownian particles and Mehler's formula. The analysis developed in this article can also be extended to solve time dependent Schrodinger equations equipped with time varying linear diffusions and quadratic potential functions.

研究动机与目标

• 开发一类可解的多维量子谐振子模型，适用于具有二次势能的线性扩散粒子。
• 通过连续时间代数 Riccati 矩阵方程的正不动点，显式计算基态与零点能。
• 通过与微分 Riccati 方程耦合的时变线性动力系统，推导出时间依赖的费曼-卡茨测度的精确解。
• 建立费曼-卡茨半群在 Wasserstein 与玻尔兹曼相对熵度量下的非渐近指数衰减估计。
• 提供哈密顿算符的完整谱描述，包括所有激发态，并在可逆情形下证明对数 Sobolev 与 Poincaré 等函数不等式。

提出的方法

• 构建哈密顿算符 H = -L + V，其中 L 是具有漂移 A 与扩散 R 的线性扩散生成元，V 为具有矩阵 S 的二次势能。
• 对 (A, R^{1/2}) 与 (A^T, S^{1/2}) 施加可控性条件，以确保势能能补偿动能的非定域化。
• 基于 Riccati 矩阵方程的 Floquet 类型分解，采用时变指数半群表示。
• 通过涉及 X_t 条件期望并随时间吸收 V(X_u) 的路径积分公式，推导出费曼-卡茨传播子 K_t。
• 应用等距变换（通过 Υ_h）将时变非齐次问题映射为时齐次谱问题。
• 利用 Riccati 矩阵方程刻画不变测度及其相关半群的时间演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可显式计算具有线性扩散粒子的量子谐振子的基态与零点能？
• RQ2 对于具有二次势能的线性扩散粒子，其时间依赖的费曼-卡茨测度能否以闭式表达？
• RQ3 费曼-卡茨半群在 Wasserstein 与相对熵度量下的非渐近指数衰减率为何？
• RQ4 该类模型的哈密顿算符的完整谱分解（包括所有激发态）是什么？
• RQ5 在可逆情形下，不变测度满足哪些函数不等式（如对数 Sobolev、Poincaré），其与动力学的关系如何？

主要发现

• 基态与零点能被显式计算为连续时间代数 Riccati 方程的正不动点。
• 时间依赖的费曼-卡茨测度通过时变线性系统与微分 Riccati 矩阵方程求解，得到闭式路径积分解。
• 推导出 Wasserstein 与相对熵距离的非渐近指数衰减率，其显式界以谱间隙与矩阵范数表示。
• 在可逆情形下，通过 Riccati 矩阵系统的特征值，完整表征了哈密顿算符的整个谱，包括所有激发态。
• 证明了 de Bruijn 恒等式、费舍尔信息衰减与对数 Sobolev 不等式，并给出显式的时间依赖界。
• 本文首次为这一类非平凡、非对角、非可逆的量子谐振子提供了谱结构与激发态的完整显式描述。