[论文解读] Quantum heaps, cops and heapy categories

Zoran Škoda|ArXiv.org|Jan 25, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文引入了量子堆（quantum heaps）作为带有三元合作（ternary cooperation）的结合代数，通过遗忘单位元来推广霍普夫代数（Hopf algebras），并建立了带单位元的量子堆范畴与霍普夫代数范畴之间的同构。此外，本文在张量范畴中定义了‘cops’，作为霍普夫代数的余代数结构的范畴类比，其具有满足结合律的三元共乘法；并引入了‘heapy categories’——表示范畴中带有三元积结构的范畴，推广了刚性张量范畴（rigid monoidal categories）。

ABSTRACT

A heap is a structure with a ternary operation which is intuitively a group with forgotten unit element. Quantum heaps are associative algebras with a ternary cooperation which are to the Hopf algebras what heaps are to groups, and, in particular, the category of copointed quantum heaps is isomorphic to the category of Hopf algebras. There is an intermediate structure of a cop in monoidal category which is in the case of vector spaces to a quantum heap about what is a coalgebra to a Hopf algebra. The representations of Hopf algebras make a rigid monoidal category. Similarly the representations of quantum heaps make a kind of category with ternary products, which we call a heapy category.

研究动机与目标

• 通过引入作为带有三元合作的结合代数的量子堆，推广霍普夫代数，其类比于通过遗忘单位元而将群推广为堆（heaps）的方式。
• 在张量范畴中定义‘cops’，作为霍普夫代数余代数的范畴类比，其具有满足结合律的三元共乘法。
• 引入‘heapy categories’——带有对象上三元积函子的范畴，推广了刚性张量范畴的张量积结构。
• 通过一个自然构造，建立刚性张量范畴范畴与单位元 heapy categories 范畴之间的等价关系。
• 探讨 heapy categories 中单位元的作用，并提出在某些情境（如非交换挠子）中，非单位元 heapy categories 可能比非单位元张量范畴更自然。

提出的方法

• 将量子堆定义为带有三元共乘法 τ 的结合代数，满足结合律：(id⊗id⊗τ)∘τ = (τ⊗id⊗id)∘τ。
• 在张量范畴中引入 cop，即带有满足相同结合律的态射 τ:C → C⊗C⊗C 的对象 C。
• 为 cop 定义一个余单位 ε:C → 1，使得 (id⊗ε⊗ε)∘τ = id = (ε⊗ε⊗id)∘τ，推广了余代数的余单位。
• 构造量子堆表示范畴，其通过作用 h·(a⊗b⊗c) = h^(1)·a ⊗ h^(2)·b ⊗ h^(3)·c 在对象上继承三元积结构。
• 通过定义三元积函子 ⋄: C × C^op × C → C 为 A ⋄ B ⋄ C = (A ⊗ B^*) ⊗ C（其中 B^* 是 B 的对偶）来构造 heapy category。
• 为三元积建立一致性同构，以定义 heapy category，推广了麦克莱恩（MacLane）对张量范畴的一致性公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过遗忘并重新引入一个特征（余单位）从量子堆重构霍普夫代数？
• RQ2 量子堆的表示范畴的范畴结构是什么？它如何推广刚性张量范畴的张量积结构？
• RQ3 单位元在 heapy category 中的作用是什么？它与刚性张量范畴中的单位元有何关系？
• RQ4 能否使用量子堆及其相关的 cop 结构来推广非交换挠子（noncommutative torsors）的概念？
• RQ5 coheap monoid 的公理与霍普夫代数的公理有何关系？格伦斯坦（Grunspan）原始表述中冗余公理的意义是什么？

主要发现

• 带单位元的量子堆范畴与霍普夫代数范畴同构，表明量子堆是通过遗忘单位元而自然推广霍普夫代数的结构。
• coheap monoid 的一个特征自动成为其底层 cop 的余单位，建立了代数特征与范畴余单位之间的直接联系。
• 量子堆的表示范畴自然地获得三元积结构，使其成为一个 heapy category，其函子性三元积为 A ⋄ B ⋄ C = (A ⊗ B^*) ⊗ C。
• 刚性张量范畴通过构造 A ⋄ B ⋄ C = (A ⊗ B^*) ⊗ C 生成一个单位元 heapy category，反之，一个单位元 heapy category 通过 Q₁ ⊗ Q₂ = Q₁ ⋄ 1 ⋄ Q₂ 诱导出一个刚性张量结构。
• 通过自然的一致性同构建立了刚性张量范畴与单位元 heapy category 之间的等价关系，表明 heapy category 是非单位元对偶性推广的自然框架。
• 在如非交换挠子等情境中，非单位元 heapy category 可能比非单位元张量范畴更自然，这由挠子图像及量子堆在非交换几何中的作用所支持。