[论文解读] Quantum Image Representation Through Two-Dimensional Quantum States and Normalized Amplitude

Madhur Srivastava, Prasanta K. Panigrahi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 31被引用 12

一句话总结

本文提出了一种新型的量子图像表示方法——二维量子态与归一化振幅（2-D QSNA），该方法分别使用 m 量子比特和 n 量子比特的量子态表示像素的行和列位置，通过归一化振幅编码像素强度，无需额外的量子比特。该方法以最少的量子比特数量实现了矩形和正方形图像的纯量子表示，且无准备复杂度，支持高效的量子图像处理。

ABSTRACT

We propose a novel method for image representation in quantum computers, which uses the two-dimensional (2-D) quantum states to locate each pixel in an image through row-location and column-location vectors for identifying each pixel location. The quantum state of an image is the linear superposition of the tensor product of the m-qubits row-location vector and the n-qubits column-location vector of each pixel. It enables the natural quantum representation of rectangular images that other methods lack. The amplitude/intensity of each pixel is incorporated into the coefficient values of the pixel's quantum state, without using any qubits. Due to the fact that linear superposition, tensor product and qubits form the fundamental basis of quantum computing, the proposed method presents the machine level representation of images on quantum computers. Unlike other methods, this method is a pure quantum representation without any classical components.

研究动机与目标

• 开发一种完全利用量子叠加和张量积的纯量子图像表示方法，避免使用经典组件。
• 实现对矩形和正方形图像的量子表示，克服现有方法仅限于正方形图像的局限性。
• 通过将像素强度编码在振幅系数中而非使用专用量子比特表示强度，最小化量子比特需求。
• 通过支持直接物理态制备，消除准备复杂度，提升量子成像硬件实现的可行性。
• 通过归一化振幅表示支持多通道和实数值强度图像，扩大在量子图像处理中的适用范围。

提出的方法

• 该方法使用两个独立的量子态：一个 m 量子比特的行位置向量和一个 n 量子比特的列位置向量，用于表示二维图像网格中的像素坐标。
• 每个像素的量子态通过其行位置态和列位置态的张量积形成，从而为整个图像创建一个复合的二维量子态。
• 像素强度或振幅直接编码在对应张量积态的系数（振幅）中，无需额外的量子比特。
• 完整图像态是所有像素态的归一化叠加：$ |I angle = \frac{1}{\text{norm}} \bigotimes_{i,j} \big( \text{amplitude}_{ij} \times (|r_i\rangle \bigotimes |c_j\rangle) \big) $，其中 $ r_i $ 和 $ c_j $ 分别为行和列索引态。
• 该表示方法支持任意实数值强度，且与位深无关，因为振幅值经过归一化并存储在标量系数中。
• 该表示本质上为纯态，避免了其他方法（如 FRQI 或 NEQR）所需的复杂态制备电路。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过量子比特位置态和振幅编码，构建一种自然支持矩形图像的量子图像表示？
• RQ2 如何在不消耗额外量子比特的情况下将像素强度编码进量子态，从而降低退相干风险？
• RQ3 仅使用叠加和位置态的张量积表示二维图像时，所需的最少量子比特数量是多少？
• RQ4 能否实现无需复杂态制备过程的纯量子态表示，从而支持直接物理实现？
• RQ5 与 FRQI 和 NEQR 等现有方法相比，该方法在多通道彩色图像和实数值强度上的泛化能力如何？

主要发现

• 2-D QSNA 方法仅需 $ m + n $ 个量子比特即可表示 $ 2^m \times 2^n $ 的图像，显著少于 FRQI（$ 2m+1 $）或 NEQR（$ 2m+l $）在相同图像尺寸下的需求。
• 该方法实现了无额外准备复杂度的纯态制备，而 FRQI 和 NEQR 分别需要 $ O(2^{4m}) $ 和 $ O(2^m) $ 次操作。
• 像素强度编码在态向量的振幅系数中，无需使用专用量子比特表示强度，从而降低了退相干风险。
• 该方法支持正方形和矩形图像，其通用形式适用于任意 $ m \times n $ 尺寸，而 FRQI 和 NEQR 仅限于 $ 2^m \times 2^m $ 网格。
• 归一化振幅表示可直接扩展至多通道彩色图像（如 RGB）和实数值强度，如公式 (14) 和 (15) 所示。
• 对于 $ 4 \times 4 $ 图像，该方法使用 4 个量子比特（2 个用于行，2 个用于列），完整态表示为所有 16 个像素态的归一化叠加，其振幅由像素强度导出。