[论文解读] Quantum Inference on Bayesian Networks

Guang Hao Low, Theodore J. Yoder+1 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Feb 28, 2014

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 26被引用 33

一句话总结

本文提出了一种基于量子拒绝采样方法的贝叶斯网络近似推理无相对化量子加速。通过利用网络的图结构，作者设计了一种高效的量子线路，用于制备表示联合分布的量子态，并应用振幅放大，实现了相对于经典采样的平方根加速：每次采样时间复杂度为 $Ø(n2^mP(e)^{-1/2})$，相较于经典方法的 $Ø(nmP(e)^{-1})$。

ABSTRACT

Performing exact inference on Bayesian networks is known to be #P-hard. Typically approximate inference techniques are used instead to sample from the distribution on query variables given the values $e$ of evidence variables. Classically, a single unbiased sample is obtained from a Bayesian network on $n$ variables with at most $m$ parents per node in time $\mathcal{O}(nmP(e)^{-1})$, depending critically on $P(e)$, the probability the evidence might occur in the first place. By implementing a quantum version of rejection sampling, we obtain a square-root speedup, taking $\mathcal{O}(n2^mP(e)^{-\frac12})$ time per sample. We exploit the Bayesian network's graph structure to efficiently construct a quantum state, a q-sample, representing the intended classical distribution, and also to efficiently apply amplitude amplification, the source of our speedup. Thus, our speedup is notable as it is unrelativized -- we count primitive operations and require no blackbox oracle queries.

研究动机与目标

• 开发一种实用的量子算法，用于贝叶斯网络的近似推理，避免依赖于黑箱预言机。
• 解决经典拒绝采样中的计算瓶颈问题，其复杂度与证据概率 $P(e)$ 成反比，尤其当 $P(e)$ 指数小时更为显著。
• 利用贝叶斯网络的条件独立结构，高效构建量子态制备线路。
• 展示相对于经典采样方法的无相对化量子加速——通过统计物理门操作数量计算——实现平方根加速。
• 使当前量子硬件上小规模网络的量子贝叶斯推理具有实验可行性。

提出的方法

• 使用受控-非门和单量子比特旋转构造量子线路，以制备编码贝叶斯网络联合分布 $P(\mathcal{Q}, \mathcal{E})$ 的纯量子态 $|\psi_P\rangle$。
• 利用网络的有界入度 $m$，确保态制备复杂度为 $\mathcal{O}(n2^m)$，与节点数 $n$ 呈线性关系。
• 通过Grover迭代 $\hat{G} = -\hat{A}\hat{S}_0\hat{A}^\dagger\hat{S}_e$ 实现振幅放大，其中 $\hat{A}$ 负责制备态，$\hat{S}_e$ 和 $\hat{S}_0$ 分别标记目标态和全零态。
• 通过重复应用Grover迭代，放大与证据 $\mathcal{E} = e$ 一致的态的振幅，从而实现从 $P(\mathcal{Q}|\mathcal{E}=e)$ 中高效采样。
• 测量最终的量子态，获得来自条件分布的样本，成功概率与 $P(e)$ 成正比。
• 通过显式地从基本量子门构建所有组件，确保整个算法为无相对化，避免依赖于抽象预言机或查询复杂度假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在不依赖黑箱预言机的前提下，实现贝叶斯网络近似推理的实用且无相对化的加速？
• RQ2 贝叶斯网络的图结构在多大程度上可被利用以实现高效的量子态制备？
• RQ3 当证据概率 $P(e)$ 较小时，振幅放大是否在贝叶斯网络推理背景下提供平方根加速？
• RQ4 量子拒绝采样框架能否通过显式的物理门分解实现，适用于近期的量子设备？
• RQ5 贝叶斯网络量子推理的门复杂度是多少？其随网络规模和证据概率的演化规律如何？

主要发现

• 该量子算法相对于经典拒绝采样实现了平方根加速，将时间复杂度从 $\mathcal{O}(nmP(e)^{-1})$ 降低至 $\mathcal{O}(n2^mP(e)^{-1/2})$。
• 联合分布 $P(\mathcal{Q}, \mathcal{E})$ 的态制备线路通过 $\mathcal{O}(n2^m)$ 个CNOT门和单量子比特旋转显式构建，利用了网络的有界入度 $m$。
• 实现振幅放大的Grover迭代的总门数主要由态制备步骤主导，整体每次采样的运行时间为 $\mathcal{O}(n2^mP(e)^{-1/2})$。
• 该算法为无相对化：所有组件均显式地由物理量子门构建，无需依赖抽象预言机或查询复杂度假设。
• 该方法在当前量子硬件上具有实验可行性，两节点贝叶斯网络仅需两个量子比特和一个小型电路，如原理性实例所示。
• 该框架暗示其可广泛应用于其他概率推理任务，如Gibbs采样和Metropolis-Hastings算法，可能在量子机器学习中实现类似的平方根加速。