[论文解读] Quantum-Inspired Tensor Neural Networks for Option Pricing

Raj Patel, Chia-Wei Hsing+13 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2022

Tensor decomposition and applications被引用 4

一句话总结

本文提出量子启发张量神经网络（TNN）和一种新型张量网络初始化方法（TNN Init），以加速高维期权定价中的深度学习并减少内存使用。通过用张量列车分解替代全连接层权重，TNN 在参数显著减少的同时，实现了与DNN相当或更优的精度，并且收敛速度更快，该方法在Heston模型和5–10维的美式期权定价中得到验证。

ABSTRACT

Recent advances in deep learning have enabled us to address the curse of dimensionality (COD) by solving problems in higher dimensions. A subset of such approaches of addressing the COD has led us to solving high-dimensional PDEs. This has resulted in opening doors to solving a variety of real-world problems ranging from mathematical finance to stochastic control for industrial applications. Although feasible, these deep learning methods are still constrained by training time and memory. Tackling these shortcomings, Tensor Neural Networks (TNN) demonstrate that they can provide significant parameter savings while attaining the same accuracy as compared to the classical Dense Neural Network (DNN). In addition, we also show how TNN can be trained faster than DNN for the same accuracy. Besides TNN, we also introduce Tensor Network Initializer (TNN Init), a weight initialization scheme that leads to faster convergence with smaller variance for an equivalent parameter count as compared to a DNN. We benchmark TNN and TNN Init by applying them to solve the parabolic PDE associated with the Heston model, which is widely used in financial pricing theory.

研究动机与目标

• 解决金融衍生品定价中高维抛物型PDE的维度灾难问题。
• 降低用于期权定价的深度学习模型中的内存消耗和训练时间。
• 开发一种参数高效的神经网络架构，使其在精度上与标准DNN相当或更优。
• 提出一种新的权重初始化方案（TNN Init），以加速收敛并降低训练过程中的方差。
• 在Heston模型和美式期权等实际金融模型上，将TNN与TNN Init与参数数量相当的DNN进行基准对比。

提出的方法

• 将DNN中全连接层的权重矩阵替换为张量列车（TT）分解，构建张量神经网络（TNN），以减少参数数量。
• 采用矩阵乘积算子（MPO）表示来参数化权重张量，实现高效存储与计算。
• 实现一种新型权重初始化方案TNN Init，专为TNN设计，以提升训练稳定性和收敛速度。
• 将Heston模型的抛物型PDE转化为前向-后向随机微分方程（FBSDE），可通过神经网络求解。
• 使用Adam优化器和均方误差（MSE）损失，在底层资产的模拟路径上训练TNN和DNN模型。
• 通过前馈网络进行递归的向后推导，以在美式期权定价的每个行权日估计继续持有价值。

实验结果

研究问题

• RQ1 TNN在高维期权定价中能否以显著更少的参数量实现与DNN相当或更优的精度？
• RQ2 与标准DNN初始化相比，TNN Init初始化方案是否能带来更快的收敛速度和更低的训练方差？
• RQ3 在Heston模型上，TNN与具有相同参数数量的DNN相比，其训练速度和内存消耗如何？
• RQ4 与Longstaff-Schwartz方法相比，TNN在降低提前行权期权定价计算成本方面能有多大程度的提升？
• RQ5 TNN能否在不依赖蒙特卡洛采样或网格化方法的前提下，有效求解定量金融中出现的高维PDE？

主要发现

• TNN在显著减少参数量的同时，实现了与DNN相当的精度，展现出显著的参数压缩能力。
• 在Heston模型上，TNN在参数数量相当的情况下，收敛速度更快且训练方差更低。
• 在五只资产的美式期权上，TNN的定价结果为26.13 ± 0.18，优于DNN的26.01 ± 0.18，且在所有行权日均表现出更低的损失。
• 在十只资产的美式期权上，TNN的定价结果为38.14 ± 0.25，优于DNN的37.92 ± 0.27，且训练过程中损失始终更低。
• TNN在保持或提升性能的同时，显著降低了训练时间和内存使用，尤其在高维场景下优势明显。
• TNN Init初始化方案在实际中表现出更快的收敛速度和更低的训练方差，优于标准DNN初始化。