[论文解读] Quantum Instruments and Conditioned Observables

Stan Gudder|arXiv (Cornell University)|May 16, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于效应的序列积的量子可观测量联合概率的新定义，论证其优于标准定义，因为它避免了不合理的可加性假设。该定义统一了量子仪器、条件可观测量和测量模型，表明L"uders仪器为有限维量子系统中一致的序列测量提供了典范框架，关键结果包括非可加性与联合概率分布的相容性条件。

ABSTRACT

Observables and instruments have played significant roles in recent studies on the foundations of quantum mechanics. Sequential products of effects and conditioned observables have also been introduced. After an introduction in Section~1, we review these concepts in Section~2. Moreover, it is shown how these ideas can be unified within the framework of measurement models. In Section~3, we illustrate these concepts and their relationships for the simple example of a qubit Hilbert space. Conditioned observables and their distributions are studied in Section~4. Section~5 considers joint probabilities of observables. We introduce a definition for joint probabilities and discuss why we consider this to be superior to the standard definition.

研究动机与目标

• 解决标准定义在量子可观测量联合概率中的不一致问题，特别是其在第一次测量结果中不合理的可加性。
• 在有限维希尔伯特空间中，将量子仪器、条件可观测量和测量模型统一于单一框架内。
• 确立L"uders仪器作为相容可观测量的典范仪器，确保序列测量的一致性。
• 证明标准联合概率定义未能考虑量子干涉，尤其是在非对易测量中。
• 提出并证明一种基于序列积 $\mathrm{tr}(\rho A_X \circ B_Y)$ 的新联合概率定义，避免可加性，更好地反映量子行为。

提出的方法

• 使用序列积 $a \circ b = a^{1/2} b a^{1/2}$ 定义条件效应和可观测量，将其解释为先测量 $a$ 再测量 $b$。
• 定义条件概率 $\widehat{\mathcal{P}}_\rho[(b|a)] = \mathcal{P}_\rho(a \circ b)/\mathcal{P}_\rho(a)$，适用于非零结果。
• 将L"uders仪器 $\mathcal{L}^A_X(\rho) = \sum_{x \in X} A_x^{1/2} \rho A_x^{1/2}$ 作为可观测量 $A$ 的典范仪器，确保相容性与一致性。
• 提出一种新的联合概率定义：$\mathcal{P}_\rho(A_X \text{ then } B_Y) = \mathrm{tr}(\rho A_X \circ B_Y)$，其在第一个变量上为非可加性。
• 通过 $(a,b\colon c)$ 定义相对于 $c$ 的可加性，其中 $(a+b)\circ c = a\circ c + b\circ c$，并证明相容性蕴含此条件。
• 通过 $\mathbb{C}^3$ 中的例子表明，非相容效应仍可能满足可加性，证明可加性弱于相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何量子力学中标准联合概率定义存在问题，尤其是在第一次测量结果的可加性方面？
• RQ2 如何为序列量子测量制定一种一致且物理上合理的联合概率定义？
• RQ3 L"uders仪器在测量一个可观测量后再测量另一个可观测量时，如何确保一致性？
• RQ4 在何种条件下，序列积 $A_X \circ B_Y$ 在第一个可观测量的结果集上具有可加性？
• RQ5 与标准定义相比，新的联合概率定义 $\mathrm{tr}(\rho A_X \circ B_Y)$ 在物理一致性和数学结构方面有何表现？

主要发现

• 标准联合概率定义 $\mathcal{P}_\rho(A_X \text{ then } B_Y) = \mathrm{tr}(\mathcal{I}_Y^B(\mathcal{I}_X^A(\rho)))$ 因在第一次测量结果中存在不合理的可加性而被证明不一致。
• 所提出的定义 $\mathcal{P}_\rho(A_X \text{ then } B_Y) = \mathrm{tr}(\rho A_X \circ B_Y)$ 避免了可加性，更好地反映了量子干涉，尤其在可观测量不对易时。
• L"uders仪器被确立为典范的 $A$-相容仪器，任何其他 $A$-相容仪器均可表示为与一个通道的复合。
• 条件 $(a,b\colon c)$，即 $(a+b)\circ c = a\circ c + b\circ c$，是一种较弱的相容形式，是序列测量中可加性的必要条件。
• 在 $\mathbb{C}^3$ 中的反例表明，非相容效应（$a$ 和 $c$）仍可相对于 $c$ 满足可加性，证明可加性不蕴含相容性。
• 对于正交的尖锐效应 $a$ 和 $b$（即 $a \perp b$），相对于 $c$ 的可加性成立当且仅当 $acb = 0$，为此类联合概率中的非可加性提供了明确判据。