[论文解读] Quantum Kinetic Evolution of Marginal Observables

V. I. Gerasimenko|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2010

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文通过约化可观测量的平均场极限，利用对偶量子BBGKY层次结构，为量子多体系统的动力学演化建立了一个严格的形式体系。它建立了可观测量演化与单粒子密度算符动力学之间的等价性，推导出对偶量子Vlasov层次结构，并将其与非线性Schrödinger方程及广义量子输运方程联系起来。

ABSTRACT

We develop a rigorous formalism for the description of the evolution of observables of quantum systems of particles in the mean-field scaling limit. The corresponding asymptotics of a solution of the initial-value problem of the dual quantum BBGKY hierarchy is constructed. Moreover, links of the evolution of marginal observables and the evolution of quantum states described in terms of a one-particle marginal density operator are established. Such approach gives the alternative description of the kinetic evolution of quantum many-particle systems to generally accepted approach on basis of kinetic equations.

研究动机与目标

• 通过可观测量的演化，为量子多体系统的输运演化提供一个严格的框架。
• 推导对偶量子BBGKY层次结构解的平均场渐近行为。
• 通过单粒子约化密度算符，建立可观测量演化与量子态演化之间的对偶性。
• 在标度极限下，建立对偶量子BBGKY层次结构与广义量子输运方程之间的等价性。
• 将该形式体系与已知方程（如非线性Schrödinger方程和量子Vlasov方程）联系起来。

提出的方法

• 在海森堡绘景下，将对偶量子BBGKY层次结构表述为可观测量约化系的演化方程组。
• 基于有限粒子数下海森堡方程的累积量，通过簇展开构造解。
• 应用平均场标度极限，将对偶BBGKY层次结构的渐近形式导出为对偶量子Vlasov层次结构。
• 利用迹泛函与时间有序算符群，将可观测量表示为单粒子密度算符的形式。
• 通过双线性形式，建立广义量子输运方程与对偶BBGKY层次结构之间的对偶性。
• 通过将时间重标度为 $\varepsilon^{-1}t$，分析动力学尺度极限，得到与Bogolyubov相关性减弱条件一致的碰撞积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过可观测量的演化，严格描述量子多体系统的输运演化？
• RQ2 对偶量子BBGKY层次结构在可观测量上的平均场渐近极限是什么？
• RQ3 对偶量子Vlasov层次结构与非线性Schrödinger方程有何关联？
• RQ4 广义量子输运方程与对偶BBGKY层次结构之间存在何种联系？
• RQ5 该形式体系如何在动力学极限下处理初始关联（如凝聚态中的关联）？

主要发现

• 对偶量子BBGKY层次结构在可观测量上的解，通过包含海森堡演化群累积量的簇展开构造而成。
• 在平均场极限下，可观测量的渐近动力学由对偶量子Vlasov层次结构控制，其为一个递推方程组。
• 单粒子约化密度算符 $F_1(t)$ 满足一个广义量子输运方程（37），该方程与对偶BBGKY层次结构对偶。
• 对于可加型可观测量，其演化完全由单粒子密度算符决定，从而建立了可观测量演化与态演化方法之间的等价性。
• 广义输运方程中的碰撞积分在动力学尺度下退化为Bogolyubov形式，从而能够控制无限体系中的关联。
• 在空间均匀情况下，一阶碰撞积分推广了量子Boltzmann碰撞积分。